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1、 线性代数 几何与代数 复习要点 张小向东南大学数学系E mail z990303 版本号 2007 8 一 行列式 二 矩阵 三 向量 四 线性方程组 六 二次型 七 综合与提高 五 小结 初等变换在线性代数中的地位 内容提要 一 行列式 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 行列式 定义 性质 计算 方程组 秩 秩 极大无关组 线性相关性 特征多项式 伴随矩阵 逆矩阵 面积 体积 叉积 混合积 一 行列式 行列式的定义 低阶 一般 一阶 递推公式 排列组合 a11A11 a12A12 a1nA1n a11A11 a21A21 an1An1 二阶 三阶 线性代数 几何与代数 复习要点
2、二阶行列式 一 行列式 a11 1 1 1a22 a12 1 1 2a21 线性代数 几何与代数 复习要点 三阶行列式 一 行列式 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a11A11 a12A12 a13A13 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 a11的余子式 M11 代数余子式 A11 1 1 1M11 a12的余子式 M12 代数余子式 A12 1 1 2M12 a13的余子式 M13 代数余子式 A13 1 1 3M13 线性代数 几何与代数 复习要点 行列式的性质 一 行列式 性质1 互换行列式
3、中的两列 行列式变号 推论 若行列式D中有两列完全相同 则D 0 性质2 线性性质 1 det 1 k j n kdet 1 j n 2 det 1 j j n det 1 j n det 1 j n 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 推论 若行列式D中有两列元素成比例 则D 0 性质3 把行列式的某一列的k倍加到另一列上去 行列式的值不变 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 例1 14 注 本题也可以用定义或对角线法则计算 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 例2 设D 证明 D D1D2 证明 对D1施行ci kcj这类运算 把D1化为下三角形行列式 p11 pm
4、m a11 a1m0 0 am1 amm0 0 c11 c1mb11 b1n cn1 cnmbn1 bnn 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 对D2施行ci kcj这类运算 把D2化为下三角形行列式 于是对D的前m列施行上述ci kcj运算 再对D的后n列施行上述施行ci kcj运算 可得 p11 pmmq11 qnn D1D2 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 性质4 设A B为同阶方阵 则 AB A B 性质5 设A方阵 则 AT A 注 根据方阵的性质5 前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形 例如 性质1 互换行列式中的两行 行列式变号 线性代数 几何与代数 复习要
5、点 定理1 n阶行列式D等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 D a11A11 a12A12 a1nA1n a21A21 a22A22 a2nA2n an1An1 an2An2 annAnn a11A11 a21A21 an1An1 a12A12 a22A22 an2An2 a1nA1n a2nA2n annAnn 一 行列式 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 性质6 n阶行列式的某一行 列 元素与另一行 列 的对应的代数余子式乘积之和为零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 定理2
6、设n阶行列式D aij 则 注 克罗内克 Kronecker 记号 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 行列式的计算 1 二 三阶行列式 对角线法则 2 利用初等变换化为三角形 其中n 2 x a 例3 计算n阶行列式 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 解 x n 1 a x a n 1 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 3 按某一行 列 展开 降阶 4 递推 归纳 未写出的元素都是0 例4 计算2n阶行列式 行列式的计算 1 二 三阶行列式 对角线法则 2 利用初等变换化为三角形 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 解 D2n a 1 2n 1b 线性代数
7、 几何与代数 复习要点 一 行列式 adD2 n 1 bcD2 n 1 ad bc D2 n 1 ad bc 2D2 n 2 ad bc 3D2 n 3 ad bc n 1D2 ad bc n 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 例5 证明n阶级 n 2 范德蒙 Vandermonde 行列式 证明 当n 2时 D2 a2 a1 现设等式对于 n 1 阶范德蒙行列式成立 则 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 Dn 11 1a1a2 ana12a22 an2 a1n 1a2n 1 ann 1 a1 a1 a1 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 a2 a1 a3 a1
8、an a1 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 5 升阶 其中a1a2 an 0 例6 计算n阶行列式 3 按某一行 列 展开 降阶 4 递推 归纳 行列式的计算 1 二 三阶行列式 对角线法则 2 利用初等变换化为三角形 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 解 Dn 1 a11 111 a2 1 11 1 an 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 Il veit 线性代数 几何与代数 复习要点 一 行列式 111 1 1a10 0 10a2 0 100 an 注意已知条件 a1a2 an 0 否则不能1 a1 1 an 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 二 矩
9、阵 矩阵 运算 分块运算 初等变换 线性方程组 向量空间 向量组 二次型 特征值 特征向量 相似 秩 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的运算 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 初等矩阵 对称矩阵 对角矩阵 单位矩阵 反对称矩阵 正交矩阵 正定矩阵 可逆矩阵 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 行矩阵A1 n 只有一行 又名行向量 列矩阵An 1 只有一列 又名列向量 零矩阵 每个元素都是0 常记为Om n或O 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换所得 方阵 行数 列数 对称矩阵 AT A 对角矩阵 diag 1 2 n 常用 表示 数量矩阵
10、kE kI 其中k为常数 单位矩阵 主对角线元素都是1 其余元素都是0 常记为E或I 反对称矩阵 AT A 正交矩阵 QTQ QQT E 正定矩阵 AT A且 x 有xTAx 0 可逆矩阵 AB BA E 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的乘积 向量组之间的线性表示 系数矩阵 线性变换的合成 z By BAx 二次型的矩阵表达式 f x xTAx 不满足消去律 结合律的妙用 不满足交换律 线性方程组的矩阵表达式 Ax b 两组基之间的联系 过渡矩阵 有非平凡的零因子 T k P 1AP k 向量的内积 T 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 例 某厂家向三个代理商发送四种产
11、品 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 值得注意的现象 1 AB和BA未必相等 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 值得注意的现象 1 AB和BA未必相等 2 AB 2和A2B2未必相等 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 值得注意的现象 1 AB和BA未必相等 2 AB 2和B2A2未必相等 3 A B 2和A2 2AB B2未必相等 A B A B 和A2 B2未必相等 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 值得注意的现象 1 AB和BA未必相等 4 AB O 推不出 A O或B O 2 AB 2和B2A2未必相等 3 A B 2和A2 2AB B2未必相等 A B
12、A B 和A2 B2未必相等 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 值得注意的现象 1 AB和BA未必相等 4 AB O 推不出 A O或B O 5 AB AC且A O 推不出 B C 2 AB 2和B2A2未必相等 3 A B 2和A2 2AB B2未必相等 A B A B 和A2 B2未必相等 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 逆矩阵 存在方阵B使AB I 存在方阵B使BA I A 0 Ax 只有零解 Ax b有唯一解 秩 A n A的行 列 向量组线性无关 A与I相抵 等价 A为有限多个初等矩阵的乘积 A的特征值全非零 利用伴随矩阵 利用初等变换 A 1 1 A 唯一性 A
13、1 m Am 1 AT 1 A 1 T kA 1 k 1A 1 AB 1 B 1A 1 A 1 A 1 若A可逆 则秩 AB 秩 B 秩 CA 秩 C 是A的特征值 1是A 1的特征值 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 例7 求下列方阵的逆矩阵 解 1 2 B 2 0 B21 6 B31 4 B12 3 B22 6 B32 5 B13 2 B23 2 B33 2 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 设A可逆 则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形 单位矩阵E A E AE E A 1 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 例8 设A 求A 1 123221343 线性代数
14、几何与代数 复习要点 二 矩阵 设A可逆 则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形 单位矩阵E 下面用初等变换解矩阵方程AX B 注意到X A 1B AB E A 1B X 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 加法 逆矩阵 乘法 数乘 转置 行列式 用初等行变换求A 1 A E E A 1 解AX B A B E A 1B Ax b的增广矩阵 A b 向量组 矩阵 矩阵的相似标准形 Jordan标准形 分块矩阵 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 注 分块之前A与B是同类型的 分块之后 与Aij对应的Bij是同类型的 否则加不起来 加法 逆矩阵 乘法 数乘 转置 行
15、列式 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 加法 逆矩阵 乘法 数乘 转置 行列式 k为一个数 Easy 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 注 分块之前A的列数等于B的行数 分块之后 各Aik的列数分别等于对应的Bkj的行数 否则乘不起来 乘法 逆矩阵 转置 行列式 加法 数乘 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 求AB 解 于是AB 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 转置 加法 数乘 逆矩阵 行列式 乘法 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 行列式 其中A
16、 B都是方阵 也未必成立 例如 但即使A B C D都是方阵 1 A1 At 加法 数乘 乘法 逆矩阵 转置 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的分块运算 逆矩阵 若A1 At都是可逆方阵 不必是同阶的 则 加法 数乘 乘法 转置 行列式 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 与初等矩阵的联系 解矩阵方程 求逆矩阵 可逆性 解线性方程组 求L 1 s 的基和维数 求矩阵的秩 保矩阵的秩 求合同标准形 求极大无关组 矩阵的初等变换 求向量组的秩 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的初等变换 1 2 1 2 增广矩阵的初等变换 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 线性代数 几何与代数 复习要点 二 矩阵 矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行向量组的秩 列向量组的秩 r A r AT A与B等价 r A r B P与Q可逆 r A r PAQ max r A r B r A B r A r B A与B相似 r A r B A与B合同 r A r B r A B r A r B r AB min r A r B 行空间的维数 列空间的维数 线性代数 几何与代数
