《中考数学第20讲直角三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学第20讲直角三角形（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 结合近几年中考试题分析 直角三角形的内容考查主要有以下特点 1 命题方式为直角三角形的判定 直角三角形的性质的应用 勾股定理及其逆定理的证明及应用 题型以解答题为主 2 命题的热点为勾股定理的推广与应用 1 判定一个三角形为直角三角形有多种方法 勾股定理的逆定理是最常用的方法 在一个三角形中 如果知道三角形的三边长 就可以利用勾股定理的逆定理判定此三角形的形状 2 在直角三角形中 已知两边利用勾股定理求第三边时 要分清第三边是直角边还是斜边 3 掌握直角三角形的性质 明确一个定理与它的逆定理之间的关系 4 探究多种方法证明勾股定理 直角三角形的判定 直角三角形的判定基本上是从两个角度去思考
2、其一 是观察三角形的角 若有一个角为直角 则此三角形为直角三角形 若一个三角形中有两个角互余 则此三角形为直角三角形 其二 是研究三边的数量关系 当其中两边的平方和等于第三边的平方 可运用勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形 根据三角形一边上的中线等于此边的一半判定 还可以与圆的有关知识结合判定 例1 2010 泸州中考 在 ABC中 AB 6 AC 8 BC 10 则该三角形为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰直角三角形 思路点拨 自主解答 选B 因为62 82 102 所以AB2 AC2 BC2 所以 ABC为直角三角形 1 2010 湛江中考 下列四组线段中
3、可以构成直角三角形的是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 4 5 6 解析 选C 因为32 42 52 所以以3 4 5为三边的三角形为直角三角形 2 2011 苏州中考 如图 在四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 若EF 2 BC 5 CD 3 则tanC等于 A B C D 解析 选B 连接BD 由已知得EF是 ABD的中位线 BD 2EF 4 又 BC 5 CD 3 根据勾股定理的逆定理得 BDC是直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的性质是指边 角之间的关系 特别是一些特殊角对边与斜边之间的数量关系即 在直角三角形中30 的锐角所对的直角边等于斜边的一
4、半 在直角三角形中 如果有一条直角边等于斜边的一半 则此直角边所对的锐角等于30 直角三角形中45 的锐角相邻的直角边相等 斜边上的中线等于斜边的一半 例2 2010 菏泽中考 如图所示 在Rt ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分线 CD 5cm 求AB的长 思路点拨 自主解答 在Rt ABC中 C 90 A 30 ABC 60 又 BD是 ABC的平分线 ABD CBD 30 AD DB 又 Rt CBD中 CD 5cm BD 10cm 3 2011 丽水中考 如图 西安路与南京路平行 并且与八一街垂直 曙光路与环城路垂直 如果小明站在南京路与八一街的交叉口 准备去书店 按图
5、中的街道行走 最近的路程约为 A 600m B 500m C 400m D 300m 解析 选B 由题意可知 AB CD 则 ABC DCE 又有 BAC DEC 90 AC DE 400m 则可证 ABC ECD AAS 得CE AB 300m 又由勾股定理可知 在Rt ABC中 则可得BE BC CE 200m 由此可得 第一条行走路线为 AC CE 400 300 700 m 第二条行走路线为 AB BE 300 200 500 m 4 在Rt ABC中 ACB 90 D是AB的中点 CD 4cm 则AB cm 解析 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 所以AB 2CD 8cm 答
6、案 8 5 2010 乐山中考 如图 在Rt ABC中 CD是斜边AB上的高 ACD 40 则 EBC 解析 因为CD是斜边AB上的高 ACD 40 所以 A 50 所以 EBC 140 答案 140 6 2010 宜宾中考 已知 在 ABC中 A 45 则边BC的长为 解析 作CD AB 又因为 A 45 所以AD CD 因为 所以AD CD 1 因为 所以 所以BC 2 答案 2 勾股定理与其逆定理 勾股定理与逆定理是直角三角形的性质与判定之一 通过以上两个定理建立了直角三角形中的边与角之间的转化关系 勾股定理是利用角得到直角三角形的三边之间的数量关系 而勾股定理的逆定理则是利用三角形三边
7、之间的特殊数量关系而得知三角形中的特殊角 因此是直角三角形的重要判定之一 例3 2010 衢州中考 已知 ABC是边长为1的等腰直角三角形 以Rt ABC的斜边AC为直角边 画第二个等腰Rt ACD 再以Rt ACD的斜边AD为直角边 画第三个等腰Rt ADE 依此类推 第n个等腰直角三角形的斜边长是 思路点拨 自主解答 因为 ABC是边长为1的等腰直角三角形 所以 又因为 ACD是等腰直角三角形 所以以此类推 第n个等腰直角三角形的斜边长是答案 7 2010 南宁中考 图中 每个小正方形的边长为1 ABC的三边a b c的大小关系式 A a c b B a b c C c a b D c b
8、 a 解析 选C 因为每个小正方形的边长为1 由勾股定理知 b 5 c 4 所以c a b 8 2010 钦州中考 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边AC 6cm BC 8cm 现将 ABC折叠 使点B与点A重合 折痕为DE 则BE的长为 A 4cm B 5cm C 6cm D 10cm 解析 选B 因为AC 6cm BC 8cm 所以AB 10cm 所以BE 5cm 9 2010 眉山中考 如图 每个小正方形的边长为1 A B C是小正方形的顶点 则 ABC的度数为 A 90 B 60 C 45 D 30 解析 选C 根据勾股定理可知AC2 12 22 5 BC2 12 22 5 AB2
9、12 32 10 AC BC AC2 BC2 AB2 ABC是等腰直角三角形且 ACB 90 ABC BAC 45 10 2011 杭州中考 在等腰Rt ABC中 C 90 AC 1 过点C作直线l AB F是l上的一点 且AB AF 则点F到直线BC的距离为 解析 如图 ABC为等腰直角三角形 且AC 1 又等腰直角三角形的斜边为直角边的倍 又 答案 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 绝大数方法是通过若干个相同的直角三角形拼出一个几何图形 结合两种方法表示拼出图形的面积 然后经过多项式的整理得到勾股定理的证明 例 2010 孝感中考 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理 它有很多种证
10、明方法 我国汉代数学家赵爽根据弦图 利用面积法进行证明 著名数学家华罗庚曾提出把 数形关系 勾股定理 带到其他星球 作为地球人与其他星球 人 进行第一次 谈话 的语言 定理表述 请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理 用文字及符号语言叙述 尝试证明 以图1中的直角三角形为基础 可以构造出以a b为底 以a b为高的直角梯形 如图2 请你利用图2 验证勾股定理 知识拓展 利用图2中的直角梯形 我们可以证明 其证明步骤如下 BC a b AD 又 在直角梯形ABCD中有BC AD 填大小关系 即 思路点拨 自主解答 定理表述 如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2
11、 尝试证明 Rt ABE Rt ECD AEB EDC 又 EDC DEC 90 AEB DEC 90 AED 90 S梯形ABCD SRt ABE SRt ECD SRt AED 整理 得a2 b2 c2 知识拓展 2011 温州中考 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图1 图2由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT的面积分别为S1 S2 S3 若S1 S2 S3 10 则S2的值是 解析 S1 S2 S3 10 CD2 HG2 TK2 10 又 DH CG TK HK TH DH
12、DG DH DG 2 HG2 DH DG 2 10 整理得答案 1 2009 遂宁中考 如图 已知 ABC中 AB 5cm BC 12cm AC 13cm 那么AC边上的中线BD的长为 cm 解析 AB2 BC2 52 122 132 AC2 ABC为直角三角形 又 BD是AC边上的中线 答案 2 2010 益阳中考 如图 在 ABC中 AB AC 8 AD是底边上的高 E为AC中点 则DE 解析 因为 ABC是等腰三角形 AD是底边上的高 所以 ADC 90 所以在Rt ADC中 E为AC的中点 所以答案 4 3 2010 温州中考 勾股定理有着悠久的历史 它曾引起很多人的兴趣 1955年希
13、腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形 它可以验证勾股定理 在如图所示的勾股图中 已知 ACB 90 BAC 30 AB 4 作 PQR 使得 R 90 点H在边QR上 点D E在边PR上 点G F在边PQ上 那么 PQR的周长等于 解析 过A作AM QR于M 由 BAC 30 AB 4 得BC 2 AC 在等边 GHQ中 HQ GH AC 在Rt AHM中 AH AC AHM 30 得HM 3 在矩形ADRM中 RM AD AB 4 所以所以 PQR的周长为答案 4 2010 玉林中考 两块完全一样的含30 角的三角板重叠在一起 若绕长直角边中点M转动 使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点 如图 A 30 AC 10 则此时两直角顶点C C 间的距离是 解析 当上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点时 C C A B 因为MC MC 又因为 A 30 所以 CMC 60 所以MC MC CC 5 答案 5 Thankyou 谢谢
