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1、 2017 年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 题 一 一 选择题 本题共选择题 本题共 30 分 每小题分 每小题 3 分 分 1 如图所示 点P到直线l的距离是 A 线段PA的长度 B 线段PB的长度 C 线段PC的长度 D 线段PD的长度 2 若代数式 4 x x 有意义 则实数x的取值范围是 A 0 x B 4x C 0 x D 4x 3 右图是某个几何题的展开图 该几何体是 A 三棱柱 B 圆锥 C 四棱柱 D 圆柱 4 实数 a b c d在数轴上的对应点的位置如图所示 则正确的结论是 A 4a B 0bd C ab D 0bc 5 下列图形中 是轴对称图形但不是中心对称图形
2、的是 A B C D 6 若正多边形的一个内角是 150 则该正多边形的边数是 A 6 B 12 C 16 D 18 7 如果 2 210aa 那么代数式 2 4 2 a a aa 的值是 A 3 B 1 C 1 D 3 8 下面的统计图反映了我国与 一带一路 沿线部分地区的贸易情况 2011 2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 以上数据摘自 一带一路 贸易合作大数据报告 2017 根据统计图提供的信息 下列推理不合理的是 A 与 2015 年相比 2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B 2011 2016 年 我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C 2011 2016
3、 年 我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 4200 亿美元 D 2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多 9 小苏和小林在右图所示的跑道上进行 4 50 米折返跑 在整个过程中 跑步者距起跑线的距离y 单位 m 与跑步时间t 单位 s 的对应关系如下图所示 下列叙述正确的是 A 两人从起跑线同时出发 同时到达终点 B 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C 小苏前 15s跑过的路程大于小林前 15s跑过的路程 D 小林在跑最后 100m的过程中 与小苏相遇 2 次 10 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果 下面有三个推断 当投掷
4、次数是 500 时 计算机记录 钉尖向上 的次数是 308 所以 钉尖向上 的概率是 0 616 随着实验次数的增加 钉尖向上 的频率总在 0 618 附近摆动 显示出一定的稳定性 可以估计 钉尖 向上 的概率是 0 618 若再次用计算机模拟实验 则当投掷次数为 1000 时 钉尖向上 的概率一定是 0 620 其中合理的是 A B C D 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 18 分 每题分 每题 3 分 分 11 写出一个比 3 大且比 4 小的无理数 12 某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球 一共花费了 435 元 其中篮球的单价比足球的单价多 3 元 求篮球的单价和足球的单
5、价 设篮球的单价为x元 足球的单价为y元 依题意 可列方程组为 13 如图 在ABC 中 MN 分别为 AC BC的中点 若1 CMN S 则 ABNM S 四边形 14 如图 AB为O 的直径 CD 为O 上的点 ADCD 若 0 40CAB 则CAD 15 如图 在平面直角坐标系xOy中 AOB 可以看作是OCD 经过 若干次图形的变化 平移 轴对称 旋转 得到的 写出一中由OCD 得到AOB 的过程 16 下图是 作已知直角三角形的外接圆 的尺规作图过程 已知 0 90Rt ABCC 求作Rt ABC 的外接圆 作法 如图 1 分别以点A和点B为圆心 大于 1 2 AB的长为半径作弧 两
6、弧 相交于 P Q两点 2 作直线PQ 交AB于点O 3 以O为圆心 OA为半径作O O 即为所求作的圆 请回答 该尺规作图的依据是 三 解答题三 解答题 本题共 本题共 72 分分 第 第 17 题题 26 题 每小题题 每小题 5 分 第分 第 27 题题 7 分 第分 第 28 题题 7 分 第分 第 29 题题 8 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 计算 0 0 4cos3012122 18 解不等式组 2157 10 2 3 xx x x 19 如图 在ABC 中 0 36ABACA BD平分ABC 交AC于点D 求证 ADB
7、C 20 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的 从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻 边的直线 则所容两长方形面积相等 如图所示 这一推论 他从这一推论出发 利用 出入相补 原理复 原了 海岛算经 九题古证 以上材料来源于 古证复原的原理 吴文俊与中国数学 和 古代世界数学泰斗刘徽 请根据上图完成这个推论的证明过程 证明 ADCANFFGCNFGD SSSS 矩形 ABCEBMF SS 矩形 易知 ADCABC SS 可得 NFGDEBMF SS 矩形矩形 21 关于x的一元二次方程 2 3220 xkxk 1 求证 方程总有两个实数根 2 若方程有一根小于 1 求k的取值范围
8、22 如图 在四边形ABCD中 BD为一条对角线 0 2 90ADBC ADBCABD E为AD的 中点 连接BE 1 求证 四边形BCDE为菱形 2 连接AC 若AC平分 1BAD BC 求AC的长 23 如图 在平面直角坐标系xOy中 函数 0 k yx x 的图象与直线2yx 交于点 3 Am 1 求km 的值 2 已知点 0P n nn 过点P作平行于x轴的直线 交直线 2yx 于点M 过点P作平行于y轴的直线 交函数 0 k yx x 的图象于点N 当1n 时 判断线段PM与PN的数量关系 并说明理由 若PNPM 结合函数的图象 直接写出n的取值范围 24 如图 AB是O 的一条弦
9、E是AB的中点 过点E作ECOA 于点C 过点B作O 的切线交CE 的延长线于点D 1 求证 DBDE 2 若12 5ABBD 求O 的半径 25 某工厂甲 乙两个部门各有员工 400 人 为了解这两个部门员工的生产技能情况 进行了抽样调查 过 程如下 请补充完整 收集数据收集数据 从甲 乙两个部门各随机抽取 20 名员工 进行了生产技能测试 测试成绩 百分制 如下 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82
10、80 70 40 整理 描述数据整理 描述数据 按如下分数段整理 描述这两组样本数据 成绩x 人数 部门 4049x 5059x 6069x 7079x 8089x 90100 x 甲 0 0 1 11 7 1 乙 说明 成绩 80 分及以上为生产技能优秀 70 79 分为生产技能良好 60 69 分为生产技能合格 60 分 以下为生产技能不合格 分析数据分析数据 两组样本数据的平均数 中位数 众数如下表所示 部门 平均数 中位数 众数 甲 78 3 77 5 75 乙 78 80 5 81 得出结论 得出结论 a 估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 b 可以推断出 部门员工的生产技能水平较高
11、 理由为 至少从两个不同的 角度说明推断的合理性 26 如图 P是AB所对弦AB上一动点 过点P作PMAB 交AB于点M 连接MB 过点P作 PNMB 于点N 已知6ABcm 设AP 两点间的距离为xcm PN 两点间的距离为ycm 当点 P与点A或点B重合时 y的值为 0 小东根据学习函数的经验 对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是小东的探究过程 请补充完整 1 通过取点 画图 测量 得到了x与y的几组值 如下表 x cm 0 1 2 3 4 5 6 y cm 0 2 0 2 3 2 1 0 9 0 说明 补全表格时相关数值保留一位小数 2 建立平面直角坐标系 描出以补全后
12、的表中各对对应值为坐标的点 画出该函数的图象 3 结合画出的函数图象 解决问题 当PAN 为等腰三角形时 AP的长度约为 cm 27 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 2 43yxx 与 x 轴交于 A B 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交 于点 C 1 求直线 BC 的解析式 2 垂直于y轴的直线l与抛物线交于 11 P x y 22 Q xy 与直线BC交于点 33 N xy 若 123 xxx 结合函数图像 求 123 xxx 的取值范围 28 在等腰直角 ABC 中 ACB 90 P 是线段 BC 上一动点 与点 B C 不重合 连接 AP 延长 BC 至点 Q 使得 CQ
13、CP 过点 Q 作 QH AP 于点 H 交 AB 于点 M 1 若 PAC 求 AMQ 的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示线段 MB 和 PQ 之间的数量关系 并证明 29 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M 给出如下定义 若在图形 M 上存在一点 Q 使得 P Q 两点间的距离小于或等于 1 则称 P 为图形 M 的关联点 1 当圆 O 的半径为 2 时 在点 1 1 0 2 P 2 13 22 P 3 5 0 2 P 中 圆 O 的关联点是 点 P 在直线yx 上 若 P 为圆 O 的关联点 求点 P 的横坐标的取值范围 2 圆 C 的圆心在 x 轴上 半径为 2 直线1yx 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 若线段 AB 上所有点 都是圆 C 的关联点 直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围
