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1、 .2.2.5解一元二次方程换元法典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的【典例解析】例1用适当方法解下列方程：（1）2x25x3=0（2）16（x+5
2、）29=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：公式法；直接开平方法；换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可解：（1）a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）242（3）=25+24=49，x=，x1=3，x2=；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=，即x1=4，x2=5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t2）（t+3）=0，解得t
3、1=2，t2=3x2+x=2或x2+x=3（0，无解），原方程的解为x1=1，x2=2例2解方程：（1）（x+3）（x1）=5 （2）例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果还要注意换元思想的应用（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解（2）先设x2x=y，采用换元法，然后解方程即可解：（1）x2+2x8=0，（x+4）（x2）=0x1=4，x2=2（2）设x2x=y原方程化为y=1y22=yy2y2=0（y+1）（y2）=0y1=1，y2=2x2x=1或x2x=2解x2x=
4、1知：此方程无实数根解x2x=2知x1=2，x2=1；原方程的解为：x1=2，x2=1例3解下列方程：（1）2x2+5x3=0（2）（3x）2+x2=9（3）2（x3）2=x（x3）（4）（x1）25（x1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答（2）先移项，然后把x29因式分解为（x+3）（x3），然后再提取公因式，因式分解即可（
5、3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可（4）把（x1）看作是一个整体，然后套用公式a22ab+b2=（ab）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答解：（1）因式分解，得（2x1）（x+3）=0，所以2x1=0或x+3=0，解得，x=或x=3；（2）移项得，（3x）2+x29=0，变形得，（x3）2+（x+3）（x3）=0，因式分解，得（x3）（x3）+（x+3）=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x3）2x（x3）=0，因式分解得，（x3）2（x3）x=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x12）（x13）=0即（x3）（x4）=0解得x=3或x=4例4阅读下面材料
6、：解答问题为解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设x21=y，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=；当y=4时，x21=4，x2=5，x=，故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12=0例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想先把x2x看作一个整体，设x2x=y，代入得到新方程y24y12=0，利用求根公式可以求解解：设x2x=y，那么原方程可化为y24y12=0（2分）解得y1=6，y2=2（4分）
7、当y=6时，x2x=6即x2x6=0x1=3，x2=2（6分）当y=2时，x2x=2即x2x+2=0=（1）24120方程无实数解（8分）原方程的解为：x1=3，x2=2（9分）例5阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（
8、x2+x）12=0例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无解所以原方程的解为x1=3，x2=2【同步训练】一选择题（共10小题
9、）1解方程（x1）25（x1）+4=0时，我们可以将x1看成一个整体，设x1=y，则原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，即x1=1，解得x=2；当y=4时，即x1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5则利用这种方法求得方程 （2x+5）24（2x+5）+3=0的解为（）Ax1=1，x2=3 Bx1=2，x2=3 Cx1=3，x2=1 Dx1=1，x2=22用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）Ay2+y6=0 By2y6=0 Cy2y+6=0 Dy2+y+6=03用换元法解方程（x2+x）2+2（
10、x2+x）1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（）Ay2+2y+1=0 By22y+1=0 Cy2+2y1=0 Dy22y1=04已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（）A1或2 B1或2 C1 D25方程（x23）25（3x2）+2=0，如果设x23=y，那么原方程可变形为（）Ay25y+2=0 By2+5y2=0 Cy25y2=0 Dy2+5y+2=06若实数x，y满足x22xy+y2+xy6=0，则xy的值是（）A2或3 B2或3 C1或6 D1或67已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A5或1 B1 C5 D5或18如果（x+2y）2+3（x+
11、2y）4=0，那么x+2y的值为（）A1 B4 C1或4 D1或39正整数x，y满足（2x5）（2y5）=25，则x+y的值是（）A10 B18 C26 D10或1810若（a2+b2）（a2+b22）=8，则a2+b2=（）A2 B4 C4或2 D4或2二填空题（共5小题）11已知，关于x的方程x2+=1，那么x+1的值为_12解方程（x25）2x2+3=0时，令x25=y，则原方程变为_13若a22ab+b2+2（ab）+1=0，则ab=_14用换元法解方程：（x2x）25（x2x）+6=0，如果设x2x=y，那么原方程变为_15在解方程（x21）22x21=0时，通过换元并整理得方程y2
12、2y3=0，则y=_三解答题（共4小题）16解方程：（x22x）2+（x22x）2=017如果a为不等于2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根18对于有理数x，用x表示不大于x的最大整数，请解方程19用适当方法解下列方程（1）（2y1）2=（2）x=5x（x）（3）（x3）2+（x+4）2（x5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）4=0参考答案一选择题（共10小题）1解：（2x+5）24（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为 y24y+3=0，y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解
13、为：x1=2，x2=1故选D2解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y6=0故选A3解：设y=x2+x，得y2+2y1=0故选C4解：x2+=0（x+）+2（x+）1=0x+=1或2x+=1无解，x+=2故选D5解：x23=y3x2=y所以y2+5y+2=0故选D6解：设xy=m，则原方程可化为：m2+m6=0，解得x1=2，x2=3；故选B7解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）5=0，（x2+y2+5）（x2+y21）=0，又x2+y2的值是非负数，x2+y2的值为只能是1故选B8解：x、y为正整数，或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，x+y=10或18故选D10解：设a2+b2=x，则有：x（x2）=8即x22x8=0，解得x1=2，x2
