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1、第四章高阶微分方程 4 1线性微分方程的一般理论 一 解的存在唯一性定理 1n阶线性微分方程 定义1 2解的存在唯一性定理 定理1 二 齐线性方程的解的性质和结构 定理2 1叠加原理 证明 故有 解 2 线性相关与线性无关 定义2 3朗斯基 Wronsky 行列式 4函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系 1 定理3 证明 使得 由线性代数理论知 要使方程组存在非零解 则它的系数行列式必为零 注 定理3的逆不成立 如函数 事实上 若有恒等式 则 推论 2 定理4 证明 反证 现以这组常数构造函数 由定理2知 又因为 由解的唯一性定理知 由定理4易得下面结论 推论2 由定理1知 方程 4
2、 2 满足初始条件 又因为 由此得定理5 5齐线性方程线性无关解的存在性 定理5 6通解的结构 1 定理6 证明 首先 由叠加原理 4 11 是 4 2 的解 它包含有n个任意常数 又因为 故 4 11 为 4 2 的通解 考虑方程组 以这组常数构造 由解的唯一性定理得 即 2 推论 3 基本解组 注 基本解组不是唯一的 三 非齐线性方程与常数变易法 非齐线性微分方程 对应齐线性微分方程 1非齐线性微分方程解的性质 性质1 证明 因为 所以 由微分性质两式相加得 性质2 证明 则 故 2非齐线性方程通解的结构 定理7 证明 这些任常数是相互独立的 4 14 为方程 4 1 的解 由定理6的证明
3、过程易知 由性质1知 故 4 14 为方程 4 1 的通解 则由性质2知 由定理6知 故 即方程 4 1 的任一解都可由 4 14 表出 4 14 包括了 4 1 的所有解 一阶线性非齐微分方程的解法 常数变易法 3常数变易法 则 为方程 4 2 的通解 此时 4 15 变为 将它代入 4 1 在理论上 这些另加条件可以任意给出 但为了运算方便 我们按下面方法来给出这n 1个条件 令 得 和表达式 继续上面做法 直到获得第n 1个条件 和表达式 因而方程组的解可唯一确定 设由上面方程求得 积分得 注 例1 解 利用常数变易法 令 解得 因此 故通解为 例2 解 对应的齐线性方程为 将该齐次方程改写成 积分得 所以 故方程有基本解组 将原方程改写成 解得 因此 故原方程的通解为
