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1、第二十五讲平面向量的数量积 回归课本 1 向量的夹角 1 已知两个非零向量a和b 作则 AOB 叫做向量a与b的夹角 2 向量夹角 的范围是 0 a与b同向时 夹角 0 a与b反向时 夹角 3 如果向量a与b的夹角是90 我们说a与b垂直 记作a b 2 向量的投影 a cos b cos 叫做向量a在b方向上 b在a方向上 的投影 3 平面向量数量积的定义a b a b cos 是向量a与b的夹角 规定 零向量与任一向量的数量积为0 4 向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同
2、向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或 a 4 cos 5 a b a b 5 向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 数乘结合律 3 a b c a c b c 分配律 6 平面向量数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x1 y1 b x2 y2 是a与b的夹角 则cos 3 若向量a的起点坐标和终点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 a 这就是平面内两点间的距离公式 4 设a x1 y1 b x2 y2 则a b a b 0 x1x2 y1y2 0 考点
3、陪练 1 2019 北京 a b为非零向量 a b 是 函数f x xa b xb a 为一次函数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 函数f x x2a b a2 b2 x a b 当函数f x 是一次函数时必然要求a b 0 即a b 但当a b a b 时 函数f x 不是一次函数 故选B 答案 B 2 2019 重庆 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b A 0B C 4D 8解析 因为 2a b 2 2a b 2 4a2 b2 4a b 4a2 b2 4 4 8 故 2a b 选B 答案 B 答案 D 答案
4、 A 答案 B 类型一数量积的性质及运算解题准备 1 数量积的运算要注意a 0时 a b 0 但a b 0时不能得到a 0 或b 0 因为a b时 也有a b 0 2 若a b c是实数 则ab ac b c a 0 但对于向量 就没有这样的性质 即若向量a b c满足a b a c a 0 则不一定有b c 即等式两边不能同时约去一个向量 但可以同时乘以一个向量 答案 25 2 设a b c是任意的非零向量 且互不共线 给出以下命题 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中是真命题的是 解析 对于 只有
5、当向量b c的方向相同时 二者才相等所以 错 考虑 式对应的几何意义 由三角形两边之差小于第三边知 正确 由 b c a c a b c 0知 b c a c a b与c垂直 故 错 向量的乘法运算符合多项式乘法法则 所以 正确 所以正确命题的序号是 答案 类型二利用数量积解决长度 垂直问题解题准备 常用的公式与结论有 典例2 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 a b 4a 2b 2 当k为何值时 a 2b ka b 分析 利用 a 及a b a b 0即可解决问题 解 由已知 a b 4 8 16 1 a b 2 a2 2a b b2 16 2 16 64 48 a b
6、4a 2b 2 16a2 16a b 4b2 16 16 16 16 4 64 3 162 4a 2b 2 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 ka2 2k 1 a b 2b2 0 16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 类型三利用数量积解决夹角问题解题准备 1 涉及到与夹角有关的问题 往往利用向量的夹角公式解决 这也是平面向量数量积的一个重要考点 3 在应用上述公式求夹角时 要考虑夹角的取值范围 典例3 已知a b都是非零向量 且 a b a b 求a与a b的夹角 分析 由公式cos 可知 求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积 本题中 a b a b 的充分利用是求
7、数量积的关键 考虑怎样对条件进行转化 解 解法一 由 a b a b 得 a 2 b 2 b 2 a2 2a b b2 所以a b a2 而 a b 2 a 2 2a b b 2 2 a 2 2 a 2 3 a 2 所以 a b a 设a与a b的夹角为 则cos 由于0 180 所以 30 反思感悟 1 求两个向量的夹角 需求得a b及 a b 或得出它们的关系 注意夹角的取值范围是 0 180 正确理解公式是关键 2 向量有两种表示形式 即坐标法和几何法 解题时要灵活选择 本题通过比较两种方法发现 利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观 错源一利用点平移与向量平移设置陷阱 典例1
8、 已知A 3 7 B 5 2 将按向量a 1 2 平移后所得向量的坐标是 A 1 7 B 2 5 C 10 4 D 3 3 错解 因为A 3 7 B 5 2 所以 2 5 将x 2 y 5及h 1 k 2 代入平移公式 得x 2 1 3 y 5 2 3 故按向量a平移后所得向量坐标是 3 3 选D 剖析 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系 它并不适合向量平移规律 上述错误是典型的乱用公式 正解 因向量平移后仍与原向量相等 故故选B 答案 B 错源二利用平移前后的解析式设置陷阱 典例2 将函数y f x 的图象按向量a平移 使图象上的点A的坐标由 2 3 变为 3 5 则平移后图象
9、的解析式为 A y f x 1 2B y f x 1 2C y f x 1 2D y f x 1 2 剖析 上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈 答案 A 错源三利用平移方向设置陷阱 典例3 将y 2x 6的图象按向量a平移后 得到y 2x的图象 那么a 错解 因为y 2x 6 2 x 3 所以要得到y 2x的图象 只需将y 2x 6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度 故a 3 0 又y 2x的图象可以看作将y 2x 6的图象沿着y轴向上平移6个单位长度得到的 故a 0 6 所以向量a 3 0 或 0 6 剖析 上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致 根据图象平移的定义可知 图象的平移就是
10、将图象F上所有点按照同一方向 移动同样长度 得到图象F 此处它只需按照同一方向 而没有要求一定是水平或竖直的移动 正解 设a h k P x y 是函数y 2x 6的图象上任意一点 它在函数y 2x的图象上的对应点为P x y 由平移公式得将它们代入y 2x 6中 得y k 2 x h 6 即y 2x 2h 6 k 所以平移后函数解析式为y 2x 2h 6 k 因为y 2x 2h 6 k与y 2x为同一函数 所以 2h 6 k 0 即k 2h 6 因此 所求向量a h 2h 6 h R 答案 h 2h 6 h R 错源四误用实数的运算律或运算法则而致错 典例4 已知a b都是非零向量 且向量a
11、 3b与7a 5b垂直 向量a 4b与7a 2b垂直 求向量a与b的夹角 两式相减得46a b 23b2 0 即b 2a b 0 所以b 0 舍去 或2a b 0 由2a b 0知a与b同向 故向量a与b的夹角为0 剖析 本题误用实数的运算性质 即实数a b若满足ab 0则必有a 0或b 0 但对于向量a b若满足a b 0 则不一定有a 0或b 0 因为由a b a b cos 知与 有关 当 90 时 a b 0恒成立 此时a b均可以不为0 正解 由前知b2 2a b 代入7a2 16a b 15b2 0得a2 2a b 所以a2 b2 2a b 故cos 则两向量的夹角 60 评析 向
12、量的数量积与实数的积有着本质上的区别 其主要表现为运算律或运算法则上的区别 因此解答向量的数量积时 不要受到实数积形成的定势思维的影响 技法一方程思想 答案 B 方法与技巧 本题考查的是单位向量问题 有关单位向量的求解常常根据题设构造方程组 通过解方程组求解 技法二分类讨论思想 典例2 已知 a 4 b 5 当a b时 求a与b的数量积 解题切入点 已知 a 4 b 5 求a b 只需确定其夹角 注意到a b时 有 0 和 180 两种可能 故需分类讨论 解 因为a b 故当a与b同向时 0 a b a b cos0 20 当a与b反向时 180 所以a b a b cos180 20 方法与技巧 对问题分类讨论时 要分类完整 做到不重不漏 技法三整体思想 典例3 若向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 1 c 4 则a b b c c a 解题切入点 直接运用公式求解 需确定出a与b b与c a与c的夹角 这是解题的一个难点 可考虑运用变形公式整体求解 解析 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2 a b b c c a 所以a b b c c a 13 答案 13 方法与技巧 本题是利用 a b 2 a2 2a b b2推广到 a b c 2 a2 b2 c2 2 a b b c a c 通过整体变形来解决问题
