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1、第十二章函数的表示方法 活动一 乘热气球探测高空气象 热气球从1800米处的某地升空 在一段时间内 它匀速上升 它上升过程中到达的海拔高度h米与上升时间t分钟的关系记录如下 观察上表 1 这个问题中 有哪几个量 2 热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少 3 你能求出上升3min 6min 9min时热气球到达的海拔高度吗 活动二 绘制温度曲线图 观察下图 回答问题 1 这张图中 有哪几个量 2 这天的最低和最高温度分别是多少 3 用火柴搭小金鱼 1 搭一条小金鱼需要8根火柴 每增加1条小金鱼需要增加几根火柴 2 小金鱼的条数n与火柴棒的根数S的关系是什么 3 搭20 100条小金鱼需要
2、多少根火柴 S 8 6 n 1 6n 2 在上述三个问题 都反映了不同事物的变化过程 其中有些量 如时间t 上升高度h 温度T 小金鱼数n 火柴根数s 的值是按着某些规律变化的 我们把这些可以取不同数值的量叫做变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量叫做变量 而有些量的数值是始终不变的 如上题中的每分钟上升的高度30m 每分钟上升的高度30m 6 2等 我们把她们叫做常量 在一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量 定义 一般地 设在一个变化过程中有两个变量x y 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值 y都有唯一确定的值与它对应 那么就说x是自变量 y是因变量 y是x的函数 例1 用一根1
3、m长的铁丝围成一个长方形 1 当长方形的宽为0 1m时 长是多少 2 当长方形的宽为0 2m时 长是多少 3 长方形的长是宽的函数吗 为什么 例题 一 下列各题中 哪些是函数关系 哪些不是函数关系 1 在一定的时间内 匀速运动所走的路程和时间 2 在平静的湖面上 投入一粒石子 泛起的波纹的周长与半径 3 在y x 3中x与y 练一练吧 是 是 是 5 正方形的面积和梯形的面积 6 圆的半径和它的周长 7 底是定长的等腰三角形的面积与底边上的高 4 三角形的面积一定 它的一边和这边上的高 是 不是 是 是 2 分别写出下列关系式 并指出其中的常量与变量 自变量与函数 1 正方形的周长S与边长a之
4、间的关系 2 树苗高2m 栽植后 每年生长0 5m 树苗的高度y m 与生长时间x 年 之间的关系 3 沙漏 是我国古代一种计量时间的仪器 它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器的数量来计量时间 请说出这个变化过程的自变量 S 8 6 n 1 6n 2 S 8 6 n 1 6n 2 温度T是时间t的函数 高度h是时间t的函数 火柴数s是金鱼数n的函数 S 6n 2 图象法 列表法 解析法 函数的表示法 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 优点 非常直观 对于自变量的每一个值 不需要计算就可以在表格中找到与他对应的函数值 用起来方便 缺点 列出的数值是有限的 表示函数
5、关系不形象 解析法 用数学式子表示函数关系的方法是解析法 其中的等式叫函数关系式或函数解析式 优点 能准确的表示出自变量与其函数之间的数量关系 能很准确的的得到所有自变量与其对应的函数值 缺点 比较抽象 利用解析式表示的函数关系求函数值时 有事计算比较复杂 而且有时候有些关系式不一定能用解析式表示出来 一般地 设在一个变化过程中 有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一的值与它对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 判断正误 1 变量x y满足x 3y 1 则y可以是x的函数 2 变量x y满足 则y可以是x的函数 3 变量x y满足 则y可以是x的函数 在用关系式表示函数时 要考虑
6、自变量的取值必须是函数关系式有意义 例1求下列函数中自变量x的取值范围 1 y 2x 4 2 y 2x2 3 y 1 x 2 4 y 解 1 x为全体实数 2 x为全体实数 3 注意 在确定函数中自变量的取值范围时 如果遇到实际问题还必须使实际问题有意义 练习 判断下列关系式中 y是否是x的函数 1 y 2x 1 2 3 4 5 在函数关系中 以自变量的值代入求得的值叫做函数值 其计算方法与求代数式的值的方法相同 例2当x 3时 求下列函数的函数值 1 y 2x 4 2 y 2x2 3 y 1 x 2 4 y 解 1 当x 3时 y 2x 4 2x3 4 10 2 当x 3时 y 2x2 2x
7、32 18 3 当x 3时 y 4 当x 3时 y 一 函数关系式中自变量的取值范围 在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况 函数关系式为整式形式 自变量取值范围为任意实数 函数关系式为分式形式 分母 0 函数关系式含算术平方根 被开方数 0 函数关系式含0指数 底数 0 例1 求下列函数的自变量x取值范围 1 y 2x 5 2 3 4 5 练习 求下列函数的自变量x的取值范围 x 0 x 1 x 0 x为一切实数 x 2 x为一切实数 二 实际问题中自变量的取值范围 在实际问题中确定自变量的取值范围 主要考虑两个因素 自变量自身表示的意义 如时间 用油量等不能为负数 问题中的
8、限制条件 此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围 例1 用总长为60m的篱笆围成长方形场地 求长方形面积S m 与边长x m 之间的函数关系式 并指出式自变量的取值范围 例2 运动员在400米一圈的跑道上训练 他跑一圈所用的时间t 秒 与跑步的速度V 米 秒 之间的函数关系 并指出式自变量的取值范围 例3一个游泳池内有水300m3 现先打开排水管以每小时25m3的排水量排水 1 写出游泳池内剩余水量Qm3与排水时间th间的函数关系式 2 写出自变量t的取值范围 3 开始排水后的第5h小时末 游泳池中还有多少水 4 当游泳池中还剩余150m3时 已经排水多少小时 4 已知点A 6 0 点P x y 在第一象限 且x y 8 设 OPA的面积为S 1 求S关于x的函数表达式 2 求x的取值范围 3 求S 12时 点P的坐标 小结 常量与变量函数的定义函数的表示方法 老师赠言 时间是一个常量 但对勤奋者来说 却是一个 变量 我们应当在有限的时间内做出伟大的事业 你的收获与平时的付出是成正比的 一份耕耘 一份收获 相信自己 只要付出 你一定会有收获
