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1、第 1 页 共 10 页 乌鲁木齐市第一中学 2019 届高三二轮复习资料 专题二函数的奇偶性 对称性 周期性综合问题 编写 李国华 基础知识 基本方法 基础知识 基本方法 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数奇偶性的判定方法 方法一 定义法 yf x 为奇函数 fxf x 0fxf x yf x 为偶函 数 fxf x 0fxf x 判定时 首先 应该看定义域是不是关于原点对称 方法二 图象法根据图像判断奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 方法三 奇偶函数的运算规律 若干个奇偶性相同的函数相加减 其奇偶性不变 若 干个奇偶函数相乘除 当奇函数个数为奇数是结果为奇函数 当奇函数个数为偶
2、数是结果为 偶函数 类似 负负得正 的规律 函数 yfx 一定是 函数 方法规律技巧 1 抽象函数奇偶性的判断方法 1 利用函数奇偶性的定义 找准方向 想办法出现 fxf x 2 巧妙赋值 合理 灵活地变形配凑 3 找出 fx 与 f x的关系 得出结论 2 函数奇偶性的性质 1 如果奇函数 yf x 在原点有定义 则 0 0f 2 奇偶函数的单调性规律 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 偶函数 在关于原点对称的两个区间上的单调性 3 常见几个函数的奇偶性 函数 f x loga 1 1 x x 为函数 a 0 且 a 1 函数 f x loga 2 1xx 为函数 a 0 且 a 1
3、 函数 11 212 x f x 为函数 函数的对称性 函数的对称性 一 最基本的对称 一 最基本的对称 1 点关于点的对称及两个函数之间的中心对称 点 的对称点是关于点 2 2 ybxaBbayxA 点 2 A x yxaBax y 关于直线的对称点是 点 A x yxmB 关于直线y 的对称点是 的坐标是 第 2 页 共 10 页 点 A x yxmB 关于直线y 的对称点是 的坐标是 点 0A x yAxByCB 关于直线的对称点是 的坐标是 二 两个函数的图象对称性 相互对称两个函数的图象对称性 相互对称 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 1
4、yf x 与 yf x 关于x轴对称 2 yf x 与 yfx 关于y轴对称 3 1 yf x 关于直线x a 对称的对称函数是 即曲线 0f x y 关于直线 xa 对称曲线为 2 0fax y 2 xafy 与 yf xb 关于直线对称 4 xfy 关于直线 ay 对称函数是 5 yf x 关于点 a b 对称函数是 即曲线 0f x y 关于 a b 的 对称曲线为 2 2 0faxby 6 曲线关于直线对称曲线为 7 曲线关于直线对称曲线为 三 函数 三 函数 xfy 图象本身的对称性 自身对称图象本身的对称性 自身对称 奇偶性是一种特殊的对称性 若 f xaf xb 则 f x具有周
5、期性 若 f axf bx 则 f x具有对称 性 内同表示周期性 内反表示对称性内同表示周期性 内反表示对称性 即 同号看周期 异号看对称同号看周期 异号看对称 具体来说 1 1 函数的轴对称 函数的轴对称 定义域内任意定义域内任意x有有 xbfxaf xfy 图象关于直线图象关于直线 22 baxbxa x 对称对称 推论 推论 2 xafxf xafxaf 2 xafxf xfy 的图象关 于直线ax 对称 注意 函数 xfy 关于直线by 对称问题 假设函数关于by 对称 即关于任一个x值 都有两个 y 值与其对应 显然这不符合函数的定义 故函数自身不可能关于直线by 对称 2 2 函
6、数的中心对称 函数的中心对称 定义域内任意定义域内任意x有有 f axcf bx xfy 的图象关于点的图象关于点 2 2 cba 对称对称 推 论 bxafxf2 2 bxafxf2 2 bxafxaf2 xfy 的图象关于点 ba对称 总结 1 内反外同的关系式内反外同的关系式 xbfxaf 表示函数表示函数 xfy 具有对称轴具有对称轴 对称轴方程 式 括号内的式子相加除以 2 可得对称轴方程 2 内反外反的关系式内反外反的关系式 f axcf bx 表示函数表示函数 xfy 具有对称具有对称中心 中心 xfy 关于 点 2 2 cba 对称 对称中心横坐标是括号内的式子相加除以 2 纵
7、坐标是外面值除以 2 第 3 页 共 10 页 总结 x 的系数一个为 1 一个为 1 f x 整理成两边 其中一个的系数是为 1 另一个为 1 存在对称中心 3 内同外同的关系式内同外同的关系式 f xaf xb 和内同外反的关系式和内同外反的关系式 f xaf xb 表示函 表示函 数数 xfy 具有具有周期性周期性 前者的周期 Tba 后者的周期 2 Tba 四 四 复合函数的对称性 性质 1 复合函数 y f a x 与 y f b x 关于直线 2 ab x 轴对称 性质 2 复合函数 y f a x 与 y f b x 关于点 0 2 ab 中心对称 推论 1 复合函数 y f a
8、 x 与 y f a x 关于 y 轴轴对称 推论 2 复合函数 y f a x 与 y f a x 关于原点中心对称 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别 可以简单的认为可以简单的认为 1 1 一个函数的恒等式一个函数的恒等式 对应法则下的两式相加和的一半为对称轴对应法则下的两式相加和的一半为对称轴 对对 称中心的坐标称中心的坐标 2 2 两个同法则不同表达式的函数两个同法则不同表达式的函数 对应法则下的两式相减等于对应法则下的两式相减等于 0 0 解得解得 的的 x x 为对称轴 为对称轴 函数的周期性 函数的周期性 一一 函数的周期性函数的周期性 对于函数 xfy 如果存在
9、一个不为零的常数 T 使得当 x 取定义域 内的每一个值时 都有 xfTxf 都成立 那么就把函数 xfy 叫做周期函数 不为 零的常数 T 叫做这个函数的周期 如果所有的周期中存在着一个最小的正数 就把这个最小 的正数叫做最小正周期 二 函数周期性的几个重要结论 二 函数周期性的几个重要结论 1 f xTf x 0T xfy 的周期为T kT kZ 也是函数的周期 2 f xaf xb xfy 的周期为 Tba 3 xfaxf xfy 的周期为aT2 4 1 xf axf xfy 的周期为aT2 5 1 xf axf xfy 的周期为aT2 6 1 1 xf xf axf xfy 的周期为a
10、T2 7 1 1 xf axf xfy 的周期为aT3 8 1 1 xf xf axf 则 xfy 的周期为aT4 1 1 f x f xa f x 则 xf是以4Ta 为周期的周期函数 1 1 xf xf axf 则 xfy 的周期为aT2 三 对称性与周期性的关系 三 对称性与周期性的关系 1 有两条对称轴和 周期 2 有两个对称中心和周期 第 4 页 共 10 页 3 有一条对称轴和一个对称中心周期 4 奇函数满足周期 5 偶函数满足周期 四 四 对称性与方程的根之间的关系 对称性与方程的根之间的关系 1 若时 对称 则当关于点 kyyhxxkhxfy2 2 kxhfxfxfxf2 2
11、nkxhfxhfxhfxfxfxf nnn 2 2 2 2 1121 2 若 2 xfyxafxafxafxf 则或的 图 像 关 于 直 线ax 对 称 设 个不同的实数根 则有nxf0 naxaxxaxxaxxxx nnn 2 2 2 22 221121 212 111 axxaxkn 时 必有当 类类 周期函数问题周期函数问题 1 1 f xkf xT 问题问题 相关结论是 相关结论是 2 2 一个周期函数与非周期函数的和 差 积 商 的综合问题 一个周期函数与非周期函数的和 差 积 商 的综合问题 例 1 已知函数 f x对任意实数x均有 2 f xkf x 其中常数k为一个不为 1
12、的正数 且 f x在 区间 0 2上有表达式 2 f xx x 1 求 1 f 2 5 f的值 2 写出 f x在 3 3 上的表达式 并讨论函数 f x在 3 3 上的单调性 3 求出 f x在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 例 2 已知函数 f x对任意实数x均有 2 f xkf x 其中常数k为负数 且 f x在区间 0 2上有 表达式 2 f xx x 1 求 1 f 2 5 f的值 2 写出 f x在 3 3 上的表达式 并讨论函数 f x在 3 3 上的单调性 第 5 页 共 10 页 3 求出 f x在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值
13、 例 3 11 年上海文 14 设 g x是定义在R上 以 1 为周期的函数 若函数 f xxg x 在区间 0 1 上的值域为 2 5 则 f x在区间 0 3 上的值域为 二 课前小测 1 2014 全国 1 设函数 xgxf的定义域为R xf是奇函数 xg是偶函数 下列结论中正确的是 A xgxf是偶函数 B xgxf是奇函数C xgxf是奇函数 D xgxf是奇函数 2 已知函数 f x对一切 x yR 都有 f xyf xf y 则 f x为 A 偶函数B 奇函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 3 函数 f x是偶函数 且在 0 内是增函数 3 0f 则不等式 0 xf x
14、 的解集为 A 303xxx 或B 303x xx 或C 33x xx 或D 303xxx 或0 4 2014 高考福建 已知函数 0 cos 0 1 2 xx xx xf则下列结论正确的是 A xf是偶函数B xf是增函数C xf是周期函数D xf的值域为 1 5 对于函数 2 21 x f xaaR 是否存在实数a 使函数 f x为奇函数 若存在 求出a 6 函数 2 11 log 1 ax f x xx 为奇函数 则实数a 7 15 年新课标 若函数 f x xln x 2 ax 为偶函数 则 a 8 2014 高考湖南 已知 xgxf分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且1 23 xxx
15、gxf 则 1 1 gf A 3 B 1 C 1D 3 9 已知函数 f x为定义在 2 3a 上的偶函数 在 0 3上单调递减 并且 22 22 5 a fmfmm 则m的取值范围是 第 6 页 共 10 页 10 设函数的定义域为 R 且满足 则图象关于 对称 的图象关于 对称 11 已知函数满足 则图象关于 对称 12 设函数的定义域为 R 则下列命题中 若是偶函数 则图象 关于 y 轴对称 若是偶函数 则图象关于直线对称 若 则函数图象关于直线对称 与 图象关于直线对称 其中正确命题序号为 13 定义在 上的偶函数 f x 满足 f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 下 面是关
16、于 f x 的判断 其中正确的判断是 把你认为正确的判断都填上 f x 是周期函数 f x 的图象关于直线 x 1 对称 f x 在 0 1 上是增函数 f x 在 1 2 上是减函数 f 2 f 0 14 函数 xfy 图象为 C C 关于直线 x 1 对称图象为 C1 将 C1向左平移 2 个单位后得到图象 C2 则 C2 对应函数为 A xfy B 1 xfy C 2 xfy D 3 xfy 1515 1 已知对任意实数x都有 4 2f xfxx 当时 f x为增函数 试比较 1 4 2 fff 大小 2 已知对任意实数x都有 4 2f xfxx 当时 f x为增函数 试比较 1 4 2 fff 大小 16 已知函数 y f x 对一切实数 x 满足 f 2 x f 4 x 且方程 f x 0 有 5 个实根 则这 5 个实根之和 为 A 5B 10C 15D 18 17 函数 f x定义域是R 且满足 f x是偶函数 1 f x 是奇函数 若 0 5 9f 求 8 5 f的值 18 2006 年山东卷 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的
