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1、北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育函数隐性零点问题近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。
2、1.不含参函数的隐性零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则：有关系式成立，注意确定的合适范围.2.含参函数的隐性零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则：有关系式成立，该关系式给出了的关系，注意确定的合适范围，往往和的范围有关.题型一 求参数的最值或取值范围例1（2012年全国I卷）设函数f（x）=exax2（1）求f （x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值解析：（1）（略解）若a0，则f（x）0，f（x）在R上单调递增； 若a0，则f（x）的单调减区间是（，
3、lna），增区间是（lna，+）（2）由于a=1，所以（xk）f（x）+x+1=（xk）（ex1）+x+1故当x0时，（xk）f（x）+x+10等价于k+x（x0）（*），令g（x）=+x，则g（x）=，而函数f（x）=exx2在（0，+）上单调递增，f（1）0，f（2）0，所以f（x）在（0，+）存在唯一的零点故g（x）在（0，+）存在唯一的零点设此零点为a，则a（1，2）当x（0，a）时，g（x）0；当x（a，+）时，g（x）0所以g（x）在（0，+）的最小值为g（a）又由g（a）=0，可得ea=a+2，所以g（a）=a+1（2，3）由于（*）式等价于kg（a），故整数k的最大值为2点评：
4、从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤：确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）；根据零点的意义进行代数式的替换；结合前两步，确定目标式的范围。题型二 不等式的证明例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f（x）=，其中a为常数（1）若a=0，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，a）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a=1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：f（x0）2解析（1）略解f（x）极大值=f（）=，无极小值；（2）可得a；（3）证明：a=1，则f（x）=导数为f（x）=，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，可
5、得，即有，要证f（x0）2，即+20，由于+2=+2=，由于x0（0，1），且x0=，2lnx0=1不成立，则，故f（x0）2成立题型三 对极值的估算例3.（2017年全国课标1）已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22解析（1）因为f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，求导可知h（x）=a则当a0时h（x）0，即y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故a0 因为当0x时h（x）0，当x时h（x）0，所
6、以h（x）min=h（），又因为h（1）=aaln1=0，所以=1，解得a=1；（另解：因为f（1）=0，所以f（x）0等价于f（x）在x0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x=1处是极小值，所以解得a=1；）（2）证明：由（1）可知f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2，令t（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln210，从而t（x）=0有解，即f（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x
7、0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0=0，所以f（x0）=+，由x0可知f（x0）；由f（）0可知x0， 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22简要分析：通过上面三个典型案例，不难发现处理隐性零点的三个步骤；这里需要强调的是：第一个步骤中确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范
8、围；第二个步骤中进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三个步骤实质就是求函数的值域或最值。最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现。变式训练1已知函数 f（x）=（aR），曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直（1）求a的值，并求f（x）的单调区间；（2）若是整数，当x0时，总有f（x）（3+）xlnx+，求的最大值解析：（1）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=（x+1）ln x+（2a+）x+1，依题意可得，f（1）
9、=1，2a+1=2， f（x）=（x+1）ln x+（x+1）=（x+1）（lnx+1），令f（x）=0，即（x+1）（ln x+1）=0，x0，x（，+）时，f（x）0，x（0，）时，f（x）0f（x）的递增区间是（，+），单调递减区间为（0，）（2）由（）可知，f（x）=（+x）lnx+x2 设h（x）=，只需h（x）min h（x）=（x0），令u（x）=x2+ln x，u（x）=1+0，可得u（x）在（0，+）上为单调递增函数，u（1）=10，u（2）=ln 20，存在x0（1，2），使u（x0）=0，当x（x0，+）时，u（x）0，即h（x）0，当x（0，x0）时，u（x）0，即h（
10、x）0，h（x）在x=x0时取最小值，且h（x）min=，又u（x0）=0，ln x0=2x0， h（x）min=x0，h（x）min，Z，x0（1，2），x0（2，1），的最大值为22设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln解析：（）f（x）=e2xalnx的定义域为（0，+），f（x）=2e2x当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）没有零点，当a0时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又f（a）0，假设存在b满足0bln时，且b，f（b）0，故当a0时，导函数f（x）存在唯一的零点。（
11、）由（）知，可设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，当x（0，x0）时，f（x）0，当x（x0+）时，f（x）0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+）单调递增，所以当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于=0，所以f（x0）=+2ax0+aln2a+aln故当a0时，f（x）2a+aln3设函数，是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.解析： 令，其中则， .在单调递减，在区间必存在实根，不妨设，即，可得（*）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，代入（*）式得.根据题意恒成立. 又根据基本不等式,当且仅当时
12、,等式成立. 所以,，. 代入（*）式得,即. 课后作业1已知函数f（x）=（aexax）ex（a0，e=2.718，e为自然对数的底数），若f（x）0对于xR恒成立（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且【解答】（1）解：f（x）=ex（aexax）0，因为ex0，所以aexax0恒成立，即a（ex1）x恒成立，x=0时，显然成立；x0时，ex10，故只需a在（0，+）恒成立，令h（x）=，（x0），h（x）=0，故h（x）在（0，+）递减，而=1，故a1；x0时，ex10，故只需a在（，0）恒成立，令g（x）=，（x0），g（x）=0，故h（x）在（，0）递增，而=
13、1，故a1.综上：a=1；（2）证明：由（1）f（x）=ex（exx1），故f（x）=ex（2exx2），令h（x）=2exx2，h（x）=2ex1，所以h（x）在（，ln）单调递减，在（ln，+）单调递增，h（0）=0，h（ln）=2elnln2=ln210，h（2）=2e2（2）2=0，h（2）h（ln）0由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在（2，ln）有唯一根，设为x0且2ex0x02=0，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由2ex0x02=0得ex0=
14、，x01，f（x0）=ex0（ex0x01）=（x01）=（x0）（2+x0）（）2=，取等不成立，所以f（x0）得证，又2x0ln，f（x）在（，x0）单调递增，所以f（x0）f（2）=e2e2（2）1=e4+e2e20得证，从而0f（x0）成立2已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【解答】（1）函数f（x）在区间e，+）上为增函数，f（x）=a+lnx+10在区间e，+）上恒成立，a（lnx1）max=2a2a的取值范围是2，+）（2）a=1时，f（x）=x+lnx，kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，k，令 g（x）=，则g（x）=，令h（x）=xlnx2（x1）
