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1、 . 2 第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式难点：第二型曲线积分的计算公式教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力的作用沿平面曲线从点移动到点，求力所作的功(图)。为此在曲线内插入个分点，与一起把有向曲线分成个有向小曲线段，若记小曲线段的弧长为，则分割的细度为。设力在轴和轴方向的投影分别为与，那么。又设小曲线段在轴与轴上的投影分别为与，其中与分别为分点与的坐标，记，于是力在小曲线段上所作的功,其中为小曲线段上任一点。因而
2、力沿曲线所作的功近似的等于当细度时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。定义1 设函数与定义在平面有向可求长度曲线上。对的任一分割，它把分成个小曲线段其中。记各小曲线段的弧长为，分割的细度。又设的分点的坐标为，并记。在每个小曲线段上任取一点，若极限存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为或 上述积分也可写作或 为书写简洁起见，式常简写成或若为封闭的有向曲线，则记为 若记，则式可写成向量形式 或 于是，力沿有向曲线对质点所作的功为。倘若为空间有向可求长度曲线，为定义在上的函数，则可按上述办法类似地定义沿
3、空间有向曲线上的第二型曲线积分，并记为， 或简写成。当把与看作三维向量时，式也可表示成式的向量形式。第二型曲线积分与曲线的方向有关。对同一曲线，当方向由到改变为由到A时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的也随之改变符号，故有而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积，它与曲线的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：1. 若存在，则也存在，且,其中为常数。2. 若有向曲线是由有向曲线首尾相接而成，且存在，则也存在, 且 。二 第二型曲线积分的计算与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。设平面曲线，其中在上
4、具有一阶连续导函数，且点与的坐标分别为与。又设与为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分 仿照中定理的方法分别证明，由此便可得公式，这里不再赘述了。对于沿封闭曲线的第二型曲线积分的计算，可在上任意选取一点作为起点，沿所指定的方向前进，最后回到这一点。例1 计算，其中分别沿如图中路线(i)直线；(ii)(抛物线：)；(iii)(三角形周界)解(i)直线的参数方程为， 。故由公式可得。(ii)曲线为抛物线，所以 。(iii)这里是一条封闭曲线，故可从开始，应用上段的性质，分别求沿和上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。由于沿直线的线积分为。沿直线的线积分为。沿直线的线积分可由(i)及公式得到所
5、以例2 计算，这里(i)沿抛物线，从到的一段（图20-4）；(ii)沿直线段；(iii)沿封闭曲线。解 (i) 。(ii) 。(iii)在一段上，在一段上，在一段上与(ii)一样是从到的一段。所以(见(ii)。因此。对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与式相仿。设空间有向光滑曲线的参量方程为，起点为，终点为，则。这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。例3 计算第二型曲线积分 ，其中是螺旋曲线，从到上的一段。解 由公式， 。例4 求在力作用下，(i)质点由沿螺旋线到所作的功（图），其中；(ii)质点由沿直线到所作的功。解 如本节开头所述，在空间曲线上力所做的功为。(i) 由于，所以。(ii)的参量方程为。由于所以。复习思考题、作业题：1 (1)(4), 2欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢！单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。word范文
