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1、数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列
2、的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解
3、：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得
4、由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、对数变换法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的
5、通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的
6、等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而
7、可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。专题讲座数列求和的基本方法和技巧数列在高考中的要求：1等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。2数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义项数的函数；理解通项公式的作用可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。3数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次
8、函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。4数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。5自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。6纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。7数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可
9、能是数列与概率交汇。8数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、 4、5、 例1 已知数列，（x0），数列的前n项和，求。解：当x=1时， 当x1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 【巩固练习】1：已知数列的通项公式为，为的前n项和，（1）求； （2）求的前20项和。 解：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中
10、 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2 求和：（）解： 当x=1时，当x1时， . 式两边同乘以x得 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 【巩固练习】2：求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得. +得 （反序相加） 【巩固练习】3：求的值解：设. 将式右边反序得. （反序） 又因为 +得 （反序相
11、加）89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中 an 、 bn 是等差数列、等比数列或常见的数列.例4 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，【巩固练习】4：求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） （分组求和） 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）= （9）例5 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 【巩固练习】5：在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立 求和：六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例6 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos
