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1、2.5 三角函数的应用解答题A组1.池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.解：如图，DE表示水面，A表示观测点，B为碑顶，在水中的倒影，由题意：设,则在RtABC中， 在RtAC中， 由、得米答：水面到碑顶的高度4.41米.2.（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处
2、，GPS显示村庄C在北偏西52方向.（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）（参考数据：，）解：过作，交于.（1），即处到村庄的距离为70km.（4分）（2）在中，（5分）.即村庄到该公路的距离约为55.2km.（1分）3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则
3、称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图，由点A作ADBC，垂足为D.AB220，B30AD110（千米）.由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.则AEAF160.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得：.EF60（千米）.该台风中心以15千米时的速度移动.这次台风影响该城市的持续时间为（小时）.（
4、3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为126.5（级）.4. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命.位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位.参考数据：）CAB6045北北答案：解：由图可知，2分作于（如图），在中，CAB6045北北D4分在中，6分8分（分钟）9分答：我护航舰约需
5、28分钟就可到达该商船所在的位置10分5. 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据1.732）.答案：作ADBC交BC延长线于D，设AD=，在RtACD中，CAD=30 CD=.在RtABD中，ABD=30BD= BC=8 有触礁危险.6. 李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳.已知太阳光与水平线的夹角为32，李攀家
6、所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？（计算结果保留整数，参考数据）解：过E作EFAB于F ABBC，DCBC 四边形BCEF是矩形，EF=BC=24，AEF=32tanAEF= AF=EF tanAEF=24=15EC=BF=40-15=25，2525=10，故刘卉家住的楼层至少是10层.FEODCBA7.安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面O的圆心O,O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32，与铅垂线OD的夹角为40，BFAB于B，ODAD于D，AB2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考
7、数据：)ODADAOD+OAC+CAD=90OAC=32，AOD=40CAD=18i=tan18=1：3在RtOAB中，=tan32OB=ABtan32=2=1.24BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)8.（本小题满分8分）如图，大楼的高为16米，远处有一塔，小李在楼底处测得塔顶处的仰角为，在楼顶处测得塔顶处的仰角为.其中两点分别位于两点正下方，且两点在同一水平线上，求塔的高度.解：作于，可得和矩形，则有， （2分）在中， （4分）在中， （5分），解得： （7分）所以塔的高度为米. 8分9.（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60方向上，他向东
8、走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30方向上，求灯塔P到滨海路的距离.（结果保留根号）解：过点P作PCAB，垂足为C.1分由题意, 得PAB30，PBC60.PABC3060北东 PBC是APB的一个外角， APBPBC-PAB=30. 3分 PABAPB. 4分故 AB=PB=400米. 6分在RtPBC中，PCB90，PBC60，PB=400， PC=PB 8分=400=（米）.10分B组1.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35；(2)在点和大树之间选择一点（
9、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45；(3)量出、两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)答案：CDB=90, CBD=45CD=BDAB=4.5AD=BD+4.5设高CD=则BD=，AD=+4.5CAD=35tanCAD=tan35=整理后得10.5故大树CD的高约为10.5米2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30，看这栋大楼底部C的俯角为60，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.答案：解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.则CDA=90，CAD=60，BAD=30，CD=240米在RtACD中，t
10、anCAD=，AD=在RtABD中，tanBAD=，BD=ADtan30=80BC=CDBD=24080=160答：这栋大楼的高为160米.3.（本题6分）如图，在梯形中，,，求梯形的面积.答案：（本题6分）在梯形ABCD中，ABCD，12.ACBD90.3B. 1分在RtACD中，CD4， 3分.在RtACB中， 5分 6分3104.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：1.414，1.732 )解：在Rt中，AB=10(米)
11、 2分在Rt中，=米 4分则DA=DB-AB=101.732= 7.32米. 5分3 + DA，所以离原坡角10米的建筑物应拆除. 6分答：离原坡角10米的建筑物应拆除. 7分5.某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45减至30，已知原台阶坡面AB的长为m（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶坡面会加长多少？454530（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到，参考数据：，）解：（1）如图，在中，(m).2分在中，(m)，4分m. 5分即改善后的台阶坡面会加长 m.（2）如图，在中， (m).6分在中，(m)，8分(m).9分
12、即改善后的台阶多占.长的一段水平地面. 10分6.（8分）（根据九年级数学一诊试题改编）如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45方向上的B处.求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）.解：过点P作PCAB，垂足为C.APC=30，BPC=45，AP=602分在RtAPC中，cosAPC=，PC=PAcosAPC=302分在RtPCB中，1分 2分答：当渔船位于P南偏东45方向时，渔船与P的距离是30海里.7.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌.EABCDGF有一天，
13、小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，正方形边长为3米，DE=4米.（1）求电线杆落在广告牌上的影长；（2）求电线杆的高度（精确到0.1米）.解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）（2分）（2）作GHAB于H，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5（3分）EABCDGFH因为：,DF=3,DE=4. （4分）所以：AH=4.875（5分）所以：电线杆的高度为:AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.8757.9.（6分）答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆
