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1、*5.3 垂径定理 教学目标 (一)教学知识点 1圆的轴对称性 2垂径定理及其逆定理 3运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明 (二)能力训练要求 1经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 2培养学生独立探索，相互合作交流的精神 (三)情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神教学重点 垂径定理及其逆定理教学难点 垂径定理及其逆定理的证明教学方法 指导探索和自主探索相结合教学过程 I创设问题情境，引入新课， 师前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称
2、图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性 讲授新课 下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：(1)在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合(2)得到一条折痕CD(3)在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足(4)将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图. 师老师和大家一起动手 (教师叙述步骤，师生共同操作) 师通过第一步，我们可以得到什么? 生齐声可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴 师很好在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 生我发现了，AMBM，弧AC=弧BC，
3、弧AD=弧BD. 师为什么呢? 生因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合 师还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?师生共析如右图示，连接OA、OB得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是Rt，又OM为公共边， 所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.师在上述操作过程中，你会得出什么结论? 生垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 师同学们总结得很好这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性
4、质垂径定理在这里注意：条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦 下面，我们一起看一下定理的证明： (教师边板书，边叙述) 如上图，连结OA、OB，则OAOB 在RtOAM和RtOBM中， OA=OB，OMOM， RtOAMRtOBM， AMBM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称， 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合. 弧AC=弧BC, 弧AD=弧BD 师为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧即垂
5、径定理的条件有两项，结论有三项用符号语言可表述为：如上图，在O中， AM=BM，CD是直径 弧AD=弧BD， CDAB于M 弧AC=弧BC. 下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例1如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m求这段弯路的半径师生共析要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了因为已知OECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF，此时就得到了一个RtCFO，哪位同学能口述一下如何求解? 生连结OC，设弯路的半径为Rm，则 OF(R-90)m，OECD， CF
6、CD=600300(m) 据勾股定理，得 OC2CF2+OF2， 即R23002+(R-90)2 解这个方程，得R545 这段弯路的半径为545 m 师在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用 随堂练习：P161略下面我们来想一想如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M师右图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? 生它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线 师很好，你是用什么方法验证上述结论的?大家互相交流讨论一下，你还有什么发现? 生通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个O
7、，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点MCD就是O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称由轴对称可知，ABCD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD师大家想想还有别的方法吗?互相讨论一下 生如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰OAB，即OAOB，又AMMB，即M点为等腰OAB底边上的中线由等腰三角形三线合一的性质可知CDAB，又CD是O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合 师在上述的探讨中，你会得出什么结论? 生平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 师为什么上述条件要强调“弦不是直径”? 生
8、因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的 师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理 师同学们，你能写出它的证明过程吗? 生如上图，连结OA、OB，则OAOB 在等腰OAB中，AMMB， CDAB(等腰三角形的三线合一) O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合 弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 师接下来，做随堂练习：P16 2 2如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么? 答：相等理由：如右图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理， 设弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧AF-弧
9、CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立 符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同 课时小结 1本节课我们利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理 2垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 课后作业 课本P16，习题5.4 活动与探究 1银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 过程让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维 结果如右图示，连结OA，过O作OEAB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm令O的半径为R，则OA=R，OEOF-EFR-10在RtAEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2解得R=50 cm修理人员应准备内径为100 cm的管道
