《梁的平面弯曲与微分方程公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梁的平面弯曲与微分方程公式（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 .第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。MqB(a) 简支梁AFB(b) 外伸梁AFC(c) 悬臂梁AFB图9.1 梁的分类由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a)、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定
2、，均为静定梁。工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a)所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平图9.2 平面弯曲梁矩形截面梯形截面圆形截面工字形截面槽形截面纵向对称面挠曲线梁轴线(a) (b) 面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭
3、转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a)所示，求各截面内力并作内力图。解：1）求固定端约束力。图
4、9.3 例9.1图ABxlMAcMFQFAyAxMAxFQMoo+_FFl(a)(b)(c) 剪力图(d) 弯矩图FAyF固定端A处有三个约束力，但因梁上无x方向载荷作用，故FAx=0；只有FAy、MA如图所示。列平衡方程有： SFy=FAy-F=0 SMA(F )=MA-Fl=0 得到： FAy=F； MA=Fl2）求截面内力。在距A为x处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。 在0xl内，有平衡方程： SFy=FAy-FQ=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FQ=F； M=-F(l-x)注意，在x=l的右端B点，因为梁处于平衡，B点右边截面之内力
5、均为零。梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。 3) 画内力图。在0xl内，剪力FQF，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。弯矩M随截面位置线性变化；当x=0时，M=-Fl；x=l时，M=0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。此悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。BAFFFAyFByaabcM1FQ1FAyAx1(a)(b)例9.2 求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。解：1）求约束力。注意固定铰A处FAx=0，故梁AB受力如图所示。列平衡方程有： SMA(F )=FBy(2a+b)-Fa-F(a+b)=0 cM2FQ22FAyAx2F(c)图9.4 例9.2图FQ(f)(e)c
6、M3FQ3FAyAx3F(d)FMooxx+-SFy=FAy+FBy-2F =0 得到： FAy=FBy=F；2）求截面内力。0x1a；左段受力如图9.4(b)。由平衡方程有： SFy=FAy-FQ1=0； FQ1=FAy=F；SMC(F )=M1-FAyx1=0 M1=Fx1 ax2a+b；左段受力如图9.4(c)。 由平衡方程有： FQ2=FAy-F=0 M2=FAyx2-F(x2-a)=Fa a +bx32a+b；左段受力如图9.4(d)。 由平衡方程有： FQ3=FAy-2F=-F M3=FAyx3-F(x3-a)-F(x3-a-b)=F(2a+b)-Fx3 注意在x=2a+b的右端B
7、点，截面之内力（FQ、M）必然回至零。3) 画内力图。剪力图如图9.4(e)所示。注意在axa+b段内，FQ0。在0xa和a+bx2a+b二段内，弯矩M随截面位置x线性变化；在x=0和x=2a+b二端，M=0；二集中力作用处，即x=a和x=a+b处，有M=Fa；在axa+b段内，MFa；故弯矩图如图9.4(f)所示。梁在axa+b段内，只有弯矩，没有剪力，这种情况称为纯弯曲。BAM0=FaFFAyFBaa45(a)aFAxFcM1FQ1x(b)(e)+xFNoF(c)cM2FQ2xFN2FAxFFAyFFAyM0(d)cM3FQ3xFN3FAxFQ(f)ox+-FF图9.5 例9.3图(g)M
8、ox-FaFa例9.3 求图9.5(a)所示外伸梁各截面内力并作内力图。解：1）求约束力。梁受力如图，列平衡方程有：SMA(F )=2aFBsin45+Fa+M0=0 SFy=FAy+FBsin45-F=0 FAy=2FSFx=FAx-FBsin45=0 FAx=-F2）求截面内力。0xa；左段受力如图9.4(b)。由平衡方程有： FN1=0； FQ1=-F； M1=-F x ax2a；受力如图9.4(c)。由平衡方程有： FN2=-FAx=F；FQ2=FAy-F =F；M2=FAy(x-a)-Fx =F(x-2a) 2ax33a；受力如图9.4(d)。由平衡方程有： FN3=F；FQ3=F；
9、 M3= FAy(x-a)-Fx-M0=F(x-3a) 3) 画内力图。轴力图如图9.5(e)所示。在0xa段内，FN=0。在ax3a段内，FNF。剪力图如图9.5(f)所示。在0xa段内，FQ=-F。在ax3a段内，FQF。弯矩图如图9.5(g)所示。在0xa段内，M=-Fx，是斜率为负的直线。在ax2a段内，M=F(x-2a)；即x=a时，M=-Fa，x2a时，M0，是图中斜率为正的直线。在2ax3a段内，M=F(x-3a)；即x=2a时，M=-Fa，x3a时，M0，也是斜率为正的直线。注意求内力时是在梁上有载荷（外载荷和约束反力）作用处分段的，本题各段中的弯矩M随截面位置线性变化，故只要
10、算出各分段控制点（以后简称控制点）的弯矩值后，在各段内用直线连接即可得到如图9.5(g)所示之弯矩图。 值得指出的是，在梁上有载荷(外载荷和约束力)作用而分段之点，有左边和右边内力的差别。分段点载荷是集中力，则影响剪力(FQ)图；载荷是集中力偶，则影响弯矩(M)图。图9.6(a) 例9.4图B(a)AFAx=0=0FAyFEM0Fq4m4m2m2mxCDE例9.4 已知q=9kN/m，F=45kN，C处作用的集中力偶M0=48kNm，求图9.6所示简支梁各截面上的内力。解： 1) 求反力。梁受力如图9.6(a)所示，列平衡方程有： SFx=FAx=0 SMA(F )=12FE+M0-8F-24
11、q=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0 解得：FAy=49kN； FE=32kN 2) 求截面内力。图9.6 例9.4图q(d)AFAyM3FQ3x3M0cq(c)AFAyM2FQ1x2c(e)AFAyqM4FQ4x4M0cF(f)AFEM4FQ4x4cE(b)AFAyqM1FQ1x1c求内力时，应在载荷发生变化处分段研究。以A为原点，建立坐标如图9.6(a)。则应在B、C、D处分段。AB段（0x14m）：在任一x1处将梁截断，取左端研究，受力如图9.6(b) 。注意到由SFx=0已给出轴力为零，故截面1上只有剪力和弯矩。列平衡方程有：SFy=FAy-qx1-FQ1=0 FQ1=49-9x
12、1 SMc(F )=M1+qx12/2-YAx1=0 M1=49x1-4.5x12 注意力矩方程均是以截面形心c为矩心写出的，如此可直接得到截面弯矩。BC段(4x26m)：受力如图9.6(c)所示 。同样有： SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=FAy-4q=49kN-9(kN/m)4m=13kN SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm) CD段（6x38m）：受力如图9.8(d)，有： SFy=FAy-4q-FQ3=0 FQ3=13kN SMc(F )=M3+4q(x3-2)+M0-FAyx3=0 M3=13x3+24(kNm) DE段（8x412m）：受力如图9.6(e)，有： SFy=FAy-4q-FQ4-F=0 FQ4=-32kN S Mc(F )=M4+4q(x4-2)+M0+F(x4-8)-FAyx4=0 M4=384-32x4(kNm)图9.7 例9.4之内力图BAFAyFEM0FqxCDE-+FQ/kN493213150128M/kNm124 由截面法求内力时，无论取左右哪一端研究都应得到相同的结果。如在DE段截取右端研究，注意截面内力仍按正向假设，受力如图9.6(f)所示，有：
