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1、静电场第一讲 基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度1、实验定律a、库仑定律内容；条件：点电荷，真空，点电荷静止或相对静止。事实上，
2、条件和均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k= k /r）。只有条件，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。b、电荷守恒定律c、叠加原理2、电场强度a、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式
3、看出点电荷：E = k结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见图7-1。均匀带电球壳内部：E内 = 0外部：E外 = k ，其中r指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1 、外径R2），在壳体中（R1rR2）：E = ，其中为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解即为图7-2中虚线以内部分的总电量。无限长均匀带电直线（电荷线密度为）：E = 无限大均匀带电平面（电荷面密度为）：E = 2k二、电势1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电
4、荷电量q的比值，即U = 参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能。2、典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点，U = kb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，U外 = k ，U内 = k3、电势的叠加由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功WAB = q（UA UB）= qUAB 三、静电场中的导体静电感应静电平衡（狭义和广义）静电屏蔽1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不
5、等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容1、电容器孤立导体电容器一般电容器2、电容a、定义式 C = b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容平行板电容器 C = = ，其中为绝对介电常数（真空中0 = ，其它介质中= ），r则为相对介电常数，r = 。柱形电
6、容器：C = 球形电容器：C = 3、电容器的连接a、串联 = + +b、并联 C = C1 + C2 + C3 + + Cn 4、电容器的能量用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E ，所以E = q0U0 = C = 电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器 E总 = E2 认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w = E2 。而且，这以结论适用于非匀强电场。五、电介质的极化1、电介质的极化a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在
7、没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2 、O2 、N2和CO2），后者则反之（如气态的H2O 、SO2和液态的水硝基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例
8、差异较大而已。b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲 重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元S1和S2 ，设球面的电荷面密度为，则这两个面元在P点激发的场强分别为E1 = kE2 = k为了弄清E1和
9、E2的大小关系，引进锥体顶部的立体角 ，显然 = = 所以 E1 = k ，E2 = k ，即：E1 = E2 ，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元S3和S4 、S5和S6 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元S ，它在球心O点激发的场强大小为E = k ，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和S激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见由于由于在x方向、y方向上的对称性， = = 0
10、，最后的E = Ez ，所以先求Ez = Ecos= k ，而且Scos为面元在xoy平面的投影，设为S所以 Ez = S而 S= R2 【答案】E = k ，方向垂直边界线所在的平面。学员思考如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为，那么，球心处的场强又是多少？推荐解法将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 k，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此E = Ex 答案大小为k，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O点，半径
11、为R，= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设 = r1 ， = r2 ，则大球激发的场强为E1 = k = kr1 ，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2 = k = kr2 ，方向由P指向OE1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，E的方向如图。又由于矢量三角形PE1E和空间位置三角形OP O是相似的，E的大小和方向就不难确定了。【答案】恒
12、为ka ，方向均沿O O，空腔里的电场是匀强电场。学员思考如果在模型2中的OO连线上O一侧距离O为b（bR）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？解说上面解法的按部就班应用答kq。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段L ，它在P点形成的电势U = k环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP = 思考如果上题中知道的是环的总电量Q ，则U
13、P的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？答UP = ；结论不会改变。再思考将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？解说（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5U1 = k= k= kU2 = k它们代数叠加成 U = U1 + U2 = k而 r1 + r2 = 2Rcos所以 U = 2Rk所有面元形成电势的叠加 U = 2Rk注意：一个完整球面的 = 4（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，只能是2
14、，所以U = 4Rk= k（2）球心电势的求解和思考相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。答（1）球心、球内任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q ，外壁的电荷量为+Q+q
15、，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】Uo = k k + k 。反馈练习如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。解说这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存
