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1、1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 1 理解函数的单调性及其几何意义 2 能根据图象的升降特征 划分函数的单调区间 理解增 减 函数的定义 会证明函数在指定区间上的单调性 1 函数单调性的定义 任意 f x1 f x2 f x1 f x2 2 函数的单调性与单调区间 1 单调性 如果函数y f x 在区间D上是 那么说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 2 单调区间 指的是 增函数或减函数 区间D 1 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 A y x 1B y C y x2 4x 5D y 解析 选B 因为函数y 的增区间为 0 所以函数y
2、 在 0 2 上为增函数 而A C D中的函数在 0 2 上都为减函数 2 若函数y 2x 1 则其在R上是 填 增函数 或 减函数 解析 一次函数y kx b 当k 0时为增函数 所以函数y 2x 1是R上的增函数 答案 增函数 3 函数y f x 的图象如图 根据图象函数y f x 的增区间为 减区间为 解析 由图象可知函数y f x 的增区间为 1 0 1 2 减区间为 2 1 0 1 答案 1 0 1 2 2 1 0 1 4 已知函数f x 则f 1 与f 2 的大小关系为f 1 f 2 解析 因为函数f x 在 0 上为减函数 所以f 1 f 2 答案 函数单调性的定义与单调区间探究
3、1 根据下面的图象探究下列问题 1 图 中任取x1 x2 D 当x1f x2 2 图 图 分别反映了函数的什么性质 提示 图 反映了函数的单调性 其中图 对应的函数为增函数 图 对应的函数为减函数 3 如果在函数y f x 中有f 1 f 2 能否得到函数为增函数 提示 不能 函数单调性的定义中任取x1 x2 当x1 x2时 f x1 f x2 则函数y f x 为增函数 而1和2只是定义域上的两个特殊值 不能说明对任意的x1 x2 都有f x1 f x2 所以由f 1 f 2 得不到函数为增函数 4 若函数y f x 在D上是增函数 D1 D 则y f x 在D1上是什么函数 提示 增函数
4、探究2 根据函数单调性的定义 思考下列问题 1 在函数单调性的定义中能否将 任取x1 x2 D 改为 任取x1 x2 I 提示 当函数在定义域上单调时 是可以的 当函数在定义域上有增有减时不可以 2 在函数增减性的定义中 x1 x2的符号与f x1 f x2 的符号之间有什么关系 提示 当函数是增函数时 x1 x2与f x1 f x2 的符号相同 当函数是减函数时 x1 x2与f x1 f x2 的符号相反 探究总结 对函数单调性和单调区间的三点说明 1 任意性 任取x1 x2 中的 任取 二字不能去掉 更不能用两个特殊值替换 2 确定性 x1 x2有大小之分且属于同一个单调区间 通常规定x1
5、 x2 3 区间表示 函数的单调区间是函数定义域的子区间 两个单调区间要用 或 和 连接 而不能用 连接 拓展延伸 判断函数y f x 单调性的有关结论 1 函数y f x 与y f x 的单调性相反 2 当c 0时 函数y f x 与y cf x 的单调性相同 当c 0时 函数y f x 与y cf x 的单调性相反 3 当函数y f x 恒为正或恒为负时 y f x 与y 的单调性相反 4 函数y f x 与函数y f x c的单调性相同 5 函数f x 和g x 都为增 减 函数 则函数f x g x 亦为增 减 函数 类型一函数单调性的定义及单调区间的求法1 已知f x x 4 7 的
6、图象如图所示 则f x 的增区间是 减区间是 2 作出函数y x2 2 x 1的图象 并写出其单调区间 解题指南 1 观察函数f x 的图象 哪一段图象是上升的 则对应的区间为增区间 反之是减区间 2 先去掉绝对值符号 转化为分段函数 画出其图象 再根据单调性的定义指出单调区间 自主解答 1 由图可知f x 的图象在区间 1 5 3 5 6 上是上升的 在区间 4 1 5 3 5 6 7 上是下降的 因此f x 的增区间是 1 5 3 5 6 减区间是 4 1 5 3 5 6 7 答案 1 5 3 5 6 4 1 5 3 5 6 7 作出图象如图所示 由图象可知函数的单调增区间为 1 和 0
7、1 单调减区间为 1 0 和 1 规律总结 1 利用图象确定函数的单调区间的步骤 1 画出草图 2 根据函数定义域与草图的位置情况确定函数的单调区间 2 求单调区间的三个注意点注意点一 求函数的单调区间时 要先求函数的定义域 注意点二 对于一次函数 二次函数 反比例函数的单调区间作为常识性的知识 可以直接使用 注意点三 函数图象不连续的单调区间要分开写 用 和 或 连接 不能用 连接 变式训练 作出函数f x x 3 x 3 的图象 并指出函数的单调区间 解析 f x x 3 x 3 图象如图所示 可得 3 为递减区间 3 为递增区间 而f x 在 3 3 为常函数 类型二函数单调性的证明1
8、已知函数 1 y 2x 1 2 y 3 y x2 2x 3 上述函数中在区间 0 上为增函数的有 2 2014 中山高一检测 已知函数f x 若2f 2 f 3 5 1 求a的值 2 利用单调性定义证明函数f x 在区间 1 的单调性 解题指南 1 画出三个函数的图象 根据图象判断其在区间 0 上的单调性 2 1 先由2f 2 f 3 5 求出a的值 2 证明的关键是作差变形 尽量变形到几个简单的因式乘积的形式 然后再确定符号 证明单调性 自主解答 1 画出三个函数的图象如图 根据图象可知只有函数y 2x 1在区间 0 上为增函数 答案 y 2x 1 2 1 由2f 2 f 3 5 得解得a
9、2 2 由 1 知f x 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x1 f x2 因为10 x2 1 0 x2 x1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 1 上是减函数 规律总结 利用定义证明函数单调性的变形技巧和步骤 1 变形技巧 因式分解 当原函数是多项式函数时 常进行因式分解 通分 当原函数是分式函数时 作差后通分 然后对分子进行因式分解 分子有理化 当原函数是根式函数时 作差后往往考虑分子有理化 2 四个步骤 提醒 利用定义证明函数单调性 作差变形要 彻底 也就是说要转化为几个因式相乘的形式 且每个因式都能够利用题设条件判断其符号 拓展延伸 函数y x
10、a 0 的单调性 1 若a 0 函数y x 的图象如图所示 则函数y x 的单调增区间是 和 单调减区间是 0 和 0 2 若a 0 其图象如图所示函数y x 在 0 和 0 上均为增函数 即y x 的单调增区间为 0 和 0 变式训练 已知函数f x 试判断函数f x 在区间 1 上的单调性 并证明 解析 函数f x 在区间 1 上是增函数 证明如下 函数f x 的定义域为 1 1 则任取x1 x2 1 且x1 x2 则f x2 f x1 因为1 x1 x2 所以x2 x1 0 x2 x1 0 所以f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故函数f x 在区间 1 上为增函数 加固训练
11、证明函数y x 在 0 1 上是减函数 证明 设0 x1 x2 1 则x2 x1 0 因为0 x1 x2 1 所以0 x1x2 1 则x1x2 1 0 所以f x2 f x1 0 即f x1 f x2 所以f x x 在 0 1 上是减函数 类型三函数单调性的应用1 2014 佛山高一检测 已知函数f x 在 上是减函数 则实数b的取值范围为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 1 3 2 已知函数f x x2 2 1 a x 1在区间 2 上为减函数 则a的取值范围是 3 2014 三明高一检测 函数y x x 0 有如下性质 若常数a 0 则函数在 0 上是减函数 在 上是增函数 已知
12、函数f x x m R为常数 当x 0 时 若对任意x N 都有f x f 4 则实数m的取值范围是 解题指南 1 函数在每一段上都是减函数 同时要注意在分界点x 0处函数值的大小 2 函数f x 在区间 2 上为减函数 则区间 2 是函数f x 的单调减区间的子区间 即 2 1 a 3 要注意对m分m 0 m 0 m 0三种情况讨论求解 自主解答 1 选A 因为函数f x 在 上是减函数 即2 b 3 2 因为函数f x 在区间 2 上为减函数 且f x 的减区间为 1 a 所以 2 1 a 所以2 1 a 解得a 1 答案 1 3 当m 0时 函数y x与y 在 0 上都是增函数 所以f
13、x x 在 0 上单调递增 所以有f 1 f 4 不满足题意 当m 0时 f x x在 0 上单调递增 所以有f 1 f 4 也不满足题意 当m 0时 根据题意可知函数f x 在 0 上单调递减 在 上单调递增 要使对任意x N 都有f x f 4 则需满足即可 即需求解不等式组解得12 m 20 答案 12 20 延伸探究 题2条件 在区间 2 上为减函数 改为 减区间为 2 则a的值为 解析 因为函数f x 的减区间为 1 a 所以1 a 2 即a 1 答案 1 规律总结 1 利用单调性比较大小的三个步骤 2 由单调性求参数取值范围的两种方法 1 定义法 借助函数的定义 根据f x1 f
14、x2 结合函数单调性的定义 建立x1与x2的关系 2 图象法 借助函数图象的特征 例如二次函数的图象被对称轴一分为二 根据对称轴相对于所给的单调区间的位置求参数的取值范围 提醒 求函数中参数的取值范围问题中 将函数单调性的大小关系转化为参数大小关系的同时注意函数的定义域 变式训练 已知函数f x ax2 2x 2 1 若f x 的单调减区间为 4 求a的取值范围 2 若f x 在区间 4 上为减函数 求a的取值范围 解析 1 由题意知 2 由f x 在区间 4 上为减函数 说明 4 只是函数f x 的一个减区间 当a 0时 f x 2x 2在 4 上单调递减 故成立 当a 0时 综上可知0 a
15、 拓展类型 抽象函数的单调性通过解决下面的两道题目 归纳抽象函数单调性应用的两种类型及其解法 1 定义在R上的函数f x 对任意实数a b 有f a b f a f b 且对任意x 0 都有f x 1时 f x 0 若对于任意两个正数x和y都有f xy f x f y 试判断f x 的单调性 解析 1 任取x1 x2 R 且x10 又因为对任意x 0 都有f x 0 所以f x2 x1 0 所以f x2 f x1 f x2 x1 f x1 所以函数f x 为R上的减函数 所以f 2 f 1 答案 2 设x2 x1 0 则所以f x2 所以f x 在 0 上是增函数 规律总结 抽象函数单调性判断的两种类型及其解法类型一 f x y 型 解决方法为构造式子f x2 f x1 x2 x1 再利用题设条件将它用f x1 和f x2 x1 表示出来 然后确定f x2 x1 的范围 从而确定f x1 与f x2 的大小关系 类型二 f xy 型 只需构造式子f x2 再利用条件将它用f x1 与表示出来 然后确定的范围 从而确定f x1 与f x2 的大小关系
