《人教A版高中数学选修2-1椭圆的定义与标准方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修2-1椭圆的定义与标准方程（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、太阳系 2 2 1椭圆及其标准方程 普宁侨中郑庆宏 尝试实验 形成概念 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 F1 F2 M 观察做图过程 1 绳长应当大于F1 F2之间的距离 2 由于绳长固定 所以M到两个定点的距离和也固定 动手画 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定
2、点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 1 椭圆的定义 如果设轨迹上任一点M到两定点F1 F2的距离和为常数2a 两定点之间的距离为2c 则椭圆定义还可以用集合语言表示为 P M MF1 MF2 2a 2a 2c 1 平面曲线 2 到两定点F1 F2的距离和等于定长 3 定长 F1F2 反思 椭圆上的点要满足怎样的几何条件 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 对称 简洁 x 设P x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
3、则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a 2a 2c 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 两边除以得 由椭圆定义可知 整理得 两边再平方 得 移项 再平方 椭圆的标准方程 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上 Y 椭圆的标准方程的特点 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b
4、c的值 反之求出a b c的值可写出椭圆的标准方程 4 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点就在哪一个轴上 并且哪个大哪个就是a2 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 再认识 则a b 则a b 5 3 4 6 口答 则a b 则a b 3 快速练习 1 判定下列椭圆的焦点在那条轴上 并指出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则 哪个分母大 焦点就在哪条轴上 大的分母就是a2 变式一 将上题焦点改为 0 4 0 4 结果如何 变式二 将上题改为两个焦
5、点的距离为8 椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 结果如何 已知两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 当焦点在X轴时 方程为 当焦点在Y轴时 方程为 分组练习 求椭圆的焦点坐标与焦距 答 焦点 3 0 3 0 焦距2c 6 答 焦点 0 12 0 12 焦距2c 24 例1 求下列椭圆的焦点坐标 以及椭圆上每一点到两焦点距离的和 解 椭圆方程具有形式 其中 因此 两焦点坐标为 椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 练习1 下列方程哪些表示椭圆 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 两个焦点分别是 2 0 2 0
6、 且过点P 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 法一 c 2 法二 c 2 设椭圆标准方程为 2a P P 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点P 解 因为椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 c 2 且c2 a2 b2 4 a2 b2 又 椭圆经过点P 联立 可求得 椭圆的标准方程为 法一 牛刀小试 法二 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程的步骤 1 首先要判断焦点位置 设出标准方程 先定位 2 根据椭圆定义或待定系数法求a b 后定量 1 求适合下列条件的椭圆方程 1 a
7、4 b 3 焦点在x轴上 2 b 1 焦点在y轴上 练习 3 若椭圆满足 a 5 c 3 求它的标准方程 如图 求满足下列条件的椭圆方程 解 椭圆具有标准方程 其中 因此 所求方程为 例3 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图 在圆上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 例2 解 设所得曲线上任一点的坐标为 x y 圆上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 即为所求轨迹方程 所以 如图 设点 的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点 且它们的斜率之积是 求点 的轨迹方程 例3 x y O A B M 解 设点 的坐标为 x y 因为点 的坐标为 5 0 所以 直线AM的斜率 同理 直线BM的斜率 由已知有 化简 得点M的轨迹方程为 练习3 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 变1 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 1 2 小结 求椭圆标准方程的方法 求美意识 求简意识 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 再见
