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1、Elements of Mechanical Control Theory 机 械 工 程 控 制 基 础 Mathematical Models of Control Mathematical Models of Control SystemsSystems 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2 本章主要内容 Main Contents 概述 系统微分方程的建立 传递函数 方块图 信号流图与梅森公式 机电系统的传递函数 3 数学表达式 分析基础 重要但困难 经典控制理论中数学模型的形式 微分方程 传递函数 频率特性 方框图 信号流图等 建模方法 Modeling Methods 分析法
2、根据系统遵循的规律 定理 定律等 集中参数 分布参数 实验法 用实验数据建模 亦称系统辨识 2 1 概述 1 数学模型的概念 典型输入信号 系统 输出响应 4 2 线性系统与非线性系统 线性系统 Linear System 适用叠加原理 Principle of superposition 线性定常系统 Time invariant System 时变系统 Time variant System 5 2 线性系统与非线性系统 非线性系统 Nonlinear System 不适用叠加原理 对非线性的处理 非线性是普遍存在的 线性化 Linear Approximation Taylor级数取一次
3、近似 忽略非线性因素 Ignoring Nonlinear Factors 非线性分析 Nonlinear Analysis 3 本课程主要研究对象 单输入 单输出线性系统 SISO 输入 系统 输出 6 建立系统微分方程的基础 机械动力学 Mechanical Kinetics 流体动力学 Hydrokinetics 电工电子技术 Electro technics Electronics 2 2 系统微分方程的建立 主要研究三类系统 机械系统 Mechanical System 液压系统 Hydraulic System 电网络系统 Electric Circuit System 7 1 机
4、械系统 Mechanical Systems 分为 直线运动 转动和二者兼有三种情况 遵循达朗贝尔 J d Alembert 原理 即系统中某一 质点所受的惯性力等于作用于该点的所有外力的和 或者 8 直线运动 Linear movement 弹簧 质量 阻尼系统 Spring Mass Damper System 9 回转运动 扭转弹簧 转动惯量 回转阻尼 Torsional spring Rotating inertia Rotating damp 10 Examples of Mechanical SystemsExamples of Mechanical Systems 1 1 11
5、Examples of Mechanical Systems 2 12 Examples of Mechanical SystemsExamples of Mechanical Systems 3 3 13 Equivalent Inertia Equivalent Damp Equivalent Output Torque 14 即 系统可等效如下 液压系统 Hydraulic System 流体遵循质量守恒定律 即流体连续方程 模型简化 model simplification 用集中参数代替分布参数 并进行非线性特性 的线性化处理 即 16 Example of Hydraulic Sy
6、stem 17 18 遵循的定律 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 3 电网络系统 Electric Circuit Systems 组成元件 电感 电阻和电容 inductance resistance capacitance 19 Example of Circuit System Circuit I Circuit II output 20 21 2 3 传递函数 Transfer Function 1 传递函数的基本概念 Concept of T F 对单输入 单输出线性定常系统 在初始条件为零的条件 下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为系 统的传递函数 对于n阶线性
7、定常系统的微分方程 22 对其在零初始条件下进行拉氏变换 即得传递函数 23 传递函数的概念只适用于线性定常系统 它只反映系统在零初始条件 下 或者未加输入前系统处于相对静止状态 的动态性能 系统传递函数反映系统本身的动态特性 只与系统本身的参数有关 与外界输入无关 对于物理可实现系统 因为实际的物理系统总存在惯性 输 出不会超前于输入 一个传递函数只能表示一对输入 输出间的关系 传递函数不说明被描述的系统的物理结构 不同性质的物理系统 只 要其动态特性相同 就可以用同一类型的传递函数来描述 传递函数是关于s的有理分式函数 传递函数与其微分方程 零极点之间的对应关系 传递函数的特点 Featu
8、res of T F 24 当 时 为传递函数的零点 当 时 为传递函数的极点 称为系统的特征方程 它的根称为系统的特征 根 也就是传递函数的极点 2 传递函数的零点和极点 zeros poles 25 3 传递函数的典型环节 Typical Elements of T F 比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节 延时环节 26 运算放大器 Operational Amplifier 27 Complex resistance 28 运算放大器 Operational Amplifier 29 Differential Circuit 30 Mechani
9、cal hauling Engine 31 Armature controlled DC Motor 32 2 4 方块图及动态系统的构成 Block Diagram Constituents of Dynamic system 主要内容 v方块图 v动态系统的构成 v方块图的简化规则 v画系统方块图及其求传递函数的步骤 33 1 方块图 Block Diagram 信号线 为有方向的线段 其上标注信号 功能框 方框中标注环节的传递函数 相加点 比较点 相加减的量应具有相同的因次 信号引出点 分支点 方块图与传递函数一样包含了与系统动态性能有关的信息 但和 系统的物理结构并不是一一对应的 它也
10、是系统的一种数学模型 方块图组成 34 2 动态系统的构成 1 串联 Cascade Connection 特点 前一环节的输出量就是后一环节的输入量 结论 串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积 n为相串联的环节数 35 2 并联 Parallel Connection 特点 各环节的输入信号相同 输出为各环节的输出之和 结论 并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的 代数和 差 n为相并联的环节数 36 3 反馈连接 feedback Connection 前向传递函数 闭环传递函数 反馈传递函数 开环传递函数 误差传递函数 37 多反馈回路连接 38 4 带干扰作用的闭环控
11、制系统 Closed loop System with Disturbance Signal 39 3 方块图的简化 Simplification of Block Diagram 目标 化交叉环路为 回 字形环路 先内环后外环去掉反馈 变换原则 前向通道的传递函数保持不变 各反馈回路的传递函数保持不变 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数 通常 需要对方块图进行简化 等效变换 换个说法 即方块图的等效变换必须遵守原则 变换前后 各变量之间的传递函数保持不变 40 有关移动中 前 后 的定义 按信号流向定义 也 即信号从 前面 流向 后面 而不是位置上的前后 在控制系统中 任何复杂系统
12、主要由响应环节的方块经 串联 并联和反馈三种基本形式连接而成 三种基本形式的 等效简化法则在前面已经讲述 一定要掌握 为了达到将交叉环路变为回字形环路目标 可以采用两 种途径来实现 1 分支点 信号引出点 的移动 2 相加点 比较点 的移动 41 缩小 放大 放大 缩小 1 分支点 信号引出点 的移动 42 2 相加点 比较点 的移动 缩小 放大 放大 缩小 43 44 4 画系统方块图及求其传递函数的步骤 画系统方块图及求传递函数的一般步骤为 确定系统的输入与输出 列写微分方程 初始条件为零 对各微分方程取拉氏变换 将各拉氏变换式分别以方块图表示 然后连成系统 求 系统总的传递函数 45 E
13、xample 画图3 42所示电网络的方块图 求传递函数 46 2 5 信号流图与梅逊公式 Signal flow Graph Mason s Gain Formula 方块图是一种很有用的图示法 但对于复杂的控制系统 方块图的简化过程仍较复杂 且易出错 S J Mason提出 的信号流图 既能表示系统的特点 而且还能直接应用梅逊 公式方便地写出系统的传递函数 因此 信号流图在控制工 程中也被广泛地应用 1 信号流图的组成 47 信号流图中的术语 源点 输入节点 具有输出支路的节点 图中的 汇点 输出节点 阱 坑 仅有输入支路的节点 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点 图中的 前向通路
14、开始于输入节点 沿支路箭头方向 每个节点只 经过一次 最终到达输出节点的通路称之前向通路 回路 闭通路 起点和终点在同一节点 并与其它节点相遇仅 一次的通路 48 前向通路上各支路增益之乘积 称为前向通路总增益 用 表示 上图中的回路 闭通路 上图中的前向通路 回路中所有支路的乘积称为回路增益 用 表示 回路中所有支路的乘积称为回路增益 用 表示 49 不接触回路 回路之间没有公共节点时 这种回路叫做不接触 回路 在信号流图中 可以有两个或两个以上不接触回路 和 和 例如 50 信号流图的特点 信号流图只适用于线性系统 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系 信号只能沿支路上 的箭头指向传递
15、在节点上可以把所有输入支路的信号叠加 并把相加后的信号送 到所有的输出支路 具有输入和输出节点的混合节点 通过增加一个具有单位增益的 支路把它作为输出节点来处理 对于一个给定的系统 信号流图不是唯一的 由于描述同一个系 统的方程可以表示为不同的形式 51 由微分方程绘制 方程 这与画方块图差不多 由系统方块图绘制 信号流图的绘制 画出图示系统方块图的信号流图 解 用小圆圈表示各变量 对应的节点 在比较点之后的引出点 只需在比较点后设置一个节 点便可 也即可以与它前面 的比较点共用一个节点 在比较点之前的引出点B 需设 置两个节点 分别表示引出点和 比较点 注意图中的 例 52 Other Ex
16、amples 例3 17 将图示方块图转变为信号流图 与方块图等效的信号流图 53 信号流图特征式 它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的 行列式 在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间 的增益 其分母总是 变化的只是其分子 式中 系统总 增益 总传递 函数 前向通路数 第n条前向通路总增益 所有不同回路传递函数 增益 乘积之和 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和 所有任意3个不接触回路增益乘积之和 为不与第n条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值 称 为第n条前向通路特征式的余因子 2 梅逊公式 Mason s Gain Formula 54 求图2 33 a 所示信号流图的总增益 例2 13 前向通路有2条 55 回路有5个 56 利用Mason s gain formula 求图示系统的闭环传递函数 解 前向通路有3个 Example 57 4个单独回路 互不接触 58 例3 18 利用梅森公式求图示系统的传递函数 59 2 6 机 电系统的传递函数 Transfer Functions of Mechanical Electric Systems 设加速度计壳体相对于某
