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1、小学数学总复习专题讲解及训练(七)主要内容比例尺、面积变化、确定位置学习目标1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义,能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺,能按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离,会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。2、使学生在经历“猜想验证”的过程中,自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。3、在解决问题的过程中,进一步体会比例以及比例尺的应用价值,感知不同领域数学内容的内在联系,增强用数和图形描述现实问题的意识和能力,丰富解决问题的策略。4、使学生在具体情境中初步理解北偏东(西)、南偏东(西)的含义,初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法,能根据给定方向和距离在平面图
2、上确定物体的位置或描述简单的行走路线。5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中,进一步培养观察能力、识图能力和有条理的进行表达的能力。发展空间观念。6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动,获得成功的体验,体会数学知识与生活实际的联系,拓展知识视野,激发学习兴趣。考点分析1、图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。2、比例尺 = ,比例尺有两种形式:数值比例尺和线段比例尺。3、把一个平面图形按照一定的倍数(n)放大或缩小到原来的几分之一()后,放大(或缩小)后与放大(或缩小)前图形的面积比是n:1(或1:n)。4、知道 了物体的方向和距离,就能确定物体的位置。5、根据物体的位置,
3、结合比例尺的相关知识,可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按方向画一条射线,在根据图上距离找出点所在的位置。6、描述行走路线要依次逐段地说,每一段都应说出行走的方向与路程。典型例题:例1、(认识比例尺)王伯伯家有一块长方形的菜地,长40米,宽30米。把这块菜地按一定的比例缩小,画在平面图上长4厘米,宽3厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗?分析与解:图上距离和实际距离的单位不同,先要统一成相同的单位,写出比后再化简。40米 = 4000厘米 3厘米 = 0.03米 = = = 图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。图上距离 : 实际距离 = 比例尺或 = 比例尺图上
4、距离和实际距离的比是1:1000,这幅图的比例尺是1:1000,也可写成,仍读作1比1000。点评:求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题:一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0;二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。多数一数、想一想,是不会有错的。例2、(对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法)比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的几分之几?实际距离是图上距离的多少倍?图上1厘米表示实际距离多少米?分析与解:比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的,实际距离是图上距离的1000倍,图上1厘米的距离代表实际距离1000厘米,即
5、10米。像形如1:1000这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺1:1000还可以这样表示0 10 20 30米 ,这是线段比例尺,它表示图上1厘米的距离代表实际距离10米。例3、一个手表零件长2毫米,画在一幅图上长4厘米,这幅图的比例尺是多少?错误解法:4厘米 = 40毫米 2 : 40 = 1 : 20思路分析:无论什么样的图纸,比例尺始终是图上距离与实际距离的比,根据比例尺的定义,用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。正确解答:4厘米 = 40毫米 40 : 2 = 20 : 1点评:比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小,还可以把实际距离扩大,这样
6、比例尺的前项就比后项大,这时后项通常化成1。在解答时,只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”,图上距离在前就可以了。例4、(根据比例尺求图上距离或实际距离)在比例尺是的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。两地的实际距离是多少米?分析与解:方法1:比例尺是,说明实际距离是图上距离的60000倍。2.560000 = 150000(厘米)150000(厘米)= 1500米方法2:比例尺是,也就是图上1厘米的距离代表实际距离60000厘米,即600米。2.5600 = 1500(米)方法3:根据 = 比例尺,可以用“图上距离 比例尺”或“解比例”的方法来求实际距离。2.5 = 2.5
7、60000 = 150000(厘米)= 1500米解:设两地的实际距离是厘米。 = 1 = 2.5 60000 = 150000150000(厘米)= 1500米答:两地的实际距离是1500厘米。例5、(平面图形按照一定的比放大后,面积扩大了比的平方倍)下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽,算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。 分析与解:量得小长方形的长是2.5厘米,宽是1厘米;大长方形的长是7.5厘米,宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1,宽的比是3 : 1。 = = = 9 : 1 = 3 : 1答:大长方形与小
8、长方形面积的比是9 : 1。例6、(认识北偏东(西)若干度、南偏东(西)若干度等方向)如图,一辆汽车向正北方向行驶,你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗?N商场 北 4560 书店 0 3 6 9千米 汽车 分析与解:从图上可以看出,以汽车为中心,书店在汽车的东北方向,商场在汽车的西北方向。怎样才能更准确地表示它们的位置呢?东北方向也叫做北偏东方向,书店在汽车的北偏东60方向。西北方向也叫做北偏西方向,商场在汽车的北偏西45方向。答:书店在汽车的北偏东60方向,商场在汽车的北偏西45方向。例7、(知道了物体的方向和距离,才能确定物体的具体位置)量出上图中书店到汽车的图上距离,根据比例尺算一
9、算,书店在汽车北偏东60方向的多少千米处?商场呢?分析与解:从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是1.2厘米和2.3厘米,根据比例尺,图上距离1厘米代表实际距离3千米,分别算出实际距离。1.2 3 = 3.6(千米)书店2.3 3 = 6.9(千米)商场答:书店在汽车北偏东60方向的3.6千米处,商场在汽车北偏西45方向的6.9千米处。点评:只有在方向词的后面添上角的度数,才能准确描述物体所在的位置。确定方向时,一定要先确定好南或北,再看是偏东还是偏西,如果图中没有画线,要先连线。算实际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。例8、(辨析)书店在汽车的北偏东60方向,表示汽车也在书店的北偏东6
10、0方向。分析与解:书店在汽车的北偏东60方向,是以汽车为中心,由北向东旋转60;而以书店为中心,汽车在书店的西南方向,即南偏西60方向。书店在汽车的北偏东60方向,表示汽车在书店的南偏西60方向。例9、(根据给定的方向和距离,有序地确定物体的具体位置)海面上有一座灯塔,灯塔北偏西30方向30千米处是凤凰岛。N北 W西 东E灯塔 0 10 20 30千米南S你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗?分析与解:(1)先确定北偏西30的方向,画一条射线。N30 灯塔 (2)再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。30 10 = 3(厘米)凤凰岛 N30 灯塔 点评:在表示凤凰岛的具体位置时,先要画出表示
11、方向的射线,再确定灯塔到凤凰岛的图上距离。且在画表示方向的射线时,应从表示灯塔的点开始画起,并注意正确摆好量角器。例10、(用方向和距离描述简单的行走路线)下图是某市旅游1号车行驶的线路图,请根据线路图填空。 (1)旅游1号车从起点站出发,向( )行驶到达青水公园,再向( )偏( )( )的方向行( )千米到达抗战纪念碑。(2)由绿博园向南偏( )( )的方向行( )千米到达购物中心,再向北偏( )( )的方向行( )千米到达人民公园。分析与解:先找准方向,再说出具体的路程。(1)旅游1号车从起点站出发,向( 东 )行驶到达青水公园,再向( 北 )偏(东)(40)的方向行(1.8 )千米到达抗
12、战纪念碑。(2)由绿博园向南偏(东)(60)的方向行(1.7)千米到达购物中心,再向北偏( 东 )(70)的方向行(1.5)千米到达人民公园。点评:在进行描述的时候,一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚,通常情况下不用东北、西北、东南、西南等说法,而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少度的说法更为准确。(七)模拟试题、说出下面各比例尺表示的意思。1400002、判断:小华在绘制学校操场平面图时,用20厘米的线段表示地面上40米的距离,这幅图的比例尺为12。 ( )某机器零件设计图纸所用的比例尺为11,说明了该零件的实际长度与图上是一样的 ( )一幅图的比例尺是61,这幅图所表示的
13、实际距离大于图上距离。 ( )3、选择:如果某图纸所用的比例尺小于1,那么这幅图所表示的图上距离( )实际距离。A.小于 B.大于 C.等于学校操场长100米,宽60米,在练习本上画图,选用( )作比例尺较合适。A.120 B.12000 C.12004、一幅地图的线段比例尺是 ,这幅图上3厘米表示实际距离多少千米?5、 一种精密零件,画在图上是12厘米,而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。6、英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场,画在比例尺为1 :4000的平面图上,长和宽各应画多少厘米?7、在比例尺为1 :200000的一幅地图上,城和城相距5厘米,两城实际相距多少千米?8、 一幅地图的线段比例尺是:0 40 80 120 160千米,甲乙两城在这幅地图上相距18厘米,两城间的实际距离是多少千米?丙