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1、正交试验设计 1 试验设计与数据处理的发展概况 20世纪20年代 英国生物统计学家及数学家费歇 R A Fisher 提出了方差分析 20世纪50年代 日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化 数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的 优选法 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计 2试验设计与数据处理的意义 2 1试验设计的目的 合理地安排试验 力求用较少的试验次数获得较好结果 例 某试验研究了3个影响因素 A A1 A2 A3 B B1 B2 B3 C C1 C2 C3 全面试验 27次 正交试验 9次 2 2数据处理的目的 通过误差分析 评判试验数据的可靠
2、性 确定影响试验结果的因素主次 抓住主要矛盾 提高试 验效率 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系 并 能对试验结果进行预测和优化 试验因素对试验结果的影响规律 为控制试验提供思路 确定最优试验方案或配方 一 试验设计的基本概念与正交表 多因素试验遇到的最大困难是试验次 数太多 若十个因素对产品质量有影响 每个 因素取两个不同状态进行比较 有210 1024 如果每个因素取三个不同状态态310 59049个不 同的试验试验 条件 在多因素试验中 有人采用 单因素轮换法 但是这种方法不一定能找到好的条件 譬如 考察两个因子 先固定A在A1 发 现B3好 再固定B3 发现A1好 但是实际上
3、好 的条件是A2B2 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58 因子与水平 试验中要加以考察而改变状态的因素称 为因子 常用大写英文字母A B C 等表示 因子在试验中所取的状态称为 水平 因子A的水平用代表因子的字母 加下标表示 记为A1 A2 Ak 在一次试验中每个因子总取一个 特定的水平 称各因子水平的一个组合为 一个处理或一个试验条件 试验指标与试验结果 衡量试验条件好坏的特性 可以是质量特性也 可以是产量特性或其它 称为指标 用y表 示 由于y是一个随机变量 因此可以假定它有如 下的结构式 y 其中 是一个依赖于试验条件的常量 随试 验
4、条件的变化而改变 是一个随机变量 常假定 它服从正态分布N 0 2 正交表 选择部分条件进行试验 再通过数据分析 来寻找好的条件 这便是试验设计问题 通过少量的试验获得较多的信息 达到试 验的目的 发现那些因子对试验结果确有 影响 因子的什么水平组合是最好的 利用正交表进行试验设计的方法就是正交 试验设计 L 表示正交表 9 是行数 在试验中表示试验 的条件数 4 是列数 在试验中表示可以安排的因 子的最多个数 3 是表的主体只有三个不同数字 在试验中表示每一因子可以取的水平数 正交表具有正交性 这是指它有如下两个特点 1 每列中不同的数字重复次数相同 在表L9 34 中 每列有3个不同数字
5、1 2 3 每一个出现3次 2 将任意两列的同行数字看成一个数对 那 么一切可能数对重复次数相同 在表L9 34 中 任意两列有9种可能的数对 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 每一 对出现一次 1 一类正交表的行数n 列数p 水平数 qn qk k 2 3 4 p n 1 q 1 如 L4 23 L8 27 L16 215 L32 231 等这类 正交表可以考察因子间交互作用 2 另一类正交表的行数 列数 水平数之 间不满足上述的两个关系 如 L12 211 L18 37 L36 313 等 常用的正交表种类 二 无交互作用的正交设计与数据分析 试验设计
6、一般有四个步骤 1 试验设计 2 进行试验获得试验结果 3 数据分析 4 验证试验 例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关 键部件之一 按质量要求其输出力矩应大于 210g cm 某生产厂过去这项指标的合格率较 低 从而希望通过试验找出好的条件 以提高 磁鼓电机的输出力矩 一 试验的设计 在安排试验时 一般应考虑如下几步 1 明确试验目的 2 明确试验指标 3 确定因子与水平 4 选用合适的正交表 进行表头设计 列出试验计划 在本例中 试验目的 提高磁鼓电机的输出力矩 试验指标 输出力矩 确定因子与水平 选表 首先根据因子的水平数 找出一类 正交表 再根据因子的个数确定具体的表 把 因子放到表
7、的列上去 称为表头设计 把放因子的列中的数字改为因子的真实水 平 便成为一张试验计划表 每一行便是一个 试验条件 在正交设计中n个试验条件是一起给出的 的 称为 整体设计 并且均匀分布在试验空 间中 9个试验点的分布 C3 C2 C1 A1A2A3 B1 B2 B3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 做试验 并记录试验结果 在进行试验时 要注意几点 1 除了所考察的因子外的其它条件 尽可 能保持相同 2 试验次序最好要随机化 3 必要时可以设置区组因子 三 数据分析 1 数据的直观分析 1 寻找最好的试验条件 在A1水平下进行了三次试验 1 2 3 而 在这三次试验中因子B的三个水平各进
8、行了一次试 验 因子C的三个水平也各进行了一次试验 在A2水平下进行了三次试验 4 5 6 在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验 在A3水平下进行了三次试验 7 8 9 在 这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次 试验 将全部试验分成三个组 那么这这三组数据 间的差异就反映了因子A的三个水平的差异 为此 计算各组数据的和与平均 T1 y1 y2 y3 160 215 180 555 T2 y4 y5 y6 168 236 190 594 T3 y7 y8 y9 157 205 140 502 同理 对因子B与C将数据分成三组分别比较 所有计算列在下面的计算表中 T的计算
9、 T y1 y2 y3 y4 y9 T1 T2 T3 2 各因子对指标影响程度大小的分析 极差的大小反映了因子水平改变时对试验结 果的影响大小 这里因子的极差是指各水平平均 值的最大值与最小值之差 譬如对因子A来讲 RA 198 167 3 30 7 其它的结果也列在上表中 3 各因子不同水平对指标的影响图 9001100 130010 11 12708090 160 170 180 190 200 210 220 输出力矩 RA RB RC A 充磁量B 定位角度C 定子线圈匝数 因子各水平对输出力矩的影响 由于正交表的特点 使试验条件均匀分布在 试验空间中 因此使数据间具有整齐可比性 上
10、述的直观分析可以进行 但是极差大到什么程度 可以认为水平的差异确实是有影响的呢 2 数据的方差分析 要把引起数据波动的原因进行分解 数据的 波动可以用偏差平方和来表示 正交表中第j列的偏差平方和的计算公式 此题中 S1 555 504 592 3 1651 1651 9 其中Tij为第j列第i水平的数据和 T为数据总 和 n为正交表的行数 q为该列的水平数 该列表头是哪个因子 则该Sj即为该因子的偏 差平方和 譬如SA S1 正交表总的偏差平方和为 在这里有 表4 6 例4 1的方差分析表 3 最佳条件的选择 对显著因子应该取最好的水平 对不显著因子的水平可以任意选取 在实际 中通常从降低成本 操作方便等角度加以选择 上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2 因 子C可以任选 譬如为节约材料可选择C1 四 验证试验 对A2B2C1进行三次试验 结果为 234 240 220 平均值为231 3此结果是 满意的
