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1、数学模型电子教案 1 数 学 模 型 2 参考文献 1 李大潜 中国大学生数学建模竞赛 高等教育出版 社 1998 2 李尚志 数学建模竞赛教程 江苏教育出版社 1996 3 叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 湖南教育 出版社 1998 4 汪国强 数学建模优秀案例选编 华南理工大学出 版社 1998 3 七 律 咏数学模型 数学精微何处寻 纷纭世界有模型 描摹万象得神韵 识破玄机算古今 岂是空文无实效 能生妙策济苍生 经天纬地显身手 七十二行任纵横 李尚志 4 目 录 1 1 引 言 1 2 数学建模竞赛 1 3 怎样建立数学模型 1 4 数学建模的方法与步骤 5 1 1 引 言 随着社会
2、的发展 数学在社会各领域 中的应用越来越广泛 作用越来越大 不 但运用于自然科学各学科 各领域 而且 渗透到经济 军事 管理以至于社会科学 和社会活动的各领域 但是 社会对数学 的需求并不只是需要数学家和专门从事数 学研究的人才 而更大量需要的是在各部 门中从事实际工作的人善于运用数学知识 6 及数学的思维方法来解决他们每天面临的 大量的实际问题 取得经济效益和社会效 益 而这不止是要用到数学 很可能还要 用到别的学科领域的知识 要用到工作经 验和常识 特别是在现代社会 要真正解 决一个实际问题几乎都离不开计算机 可 以这样说 在实际中遇到的问题 完全纯 粹的只用现成的数学知识就能解决的问题
3、几乎是没有的 所遇到的问题都是数学和 其他知识混杂在一起的问题 其中的数学 7 奥妙不是明显地摆在那里等到你去解决 而是暗藏于深处等你去发现 也就是 说 你要对复杂的实际问题进行分析 发现其中的可以用数学语言来描述的关 系或规律 将这个实际问题化成一个数 学问题 这就称为数学模型 建立数学 模型的这个过程就称为数学建模 模型 所模仿的都只是真实事物的某些方面的 属性 而数学模型 就是用数学语言 数学公式 去描述和模仿实际问题中的 数量关系 空间形式等 这种模仿当然 是近似 8 的 但又要尽可能逼真 实际问题中有许 多因素 在建立数学模型时不可能 也没 有必要将它们毫无遗漏地全部加以考虑 只能考
4、虑其中的最主要的因素 舍弃其中 的次要因素 数学模型建立起来了 实际 问题化成了数学问题 如果有现成的数学 工具当然好 如果没有现成的数学工具就 促使数学家们寻找和发展出新的数学工具 去解决它 这又推动了数学本身的发展 例如 开普勒由行星运行的观测数据总结 9 出开普勒三定律 行星运行的数学模型 牛顿试图用自己发现的力学定律去解释 它 但当时已有的数学工具是不够的 这 促使了微积分的发明 求解数学模型 除 了用到数学推理以外 通常还要处理大量 数据 进行大量计算 计算机的出现和发 展 给用数学模型解决实际问题打开了广 阔的道路 10 1 2 数学建模竞赛 由于认识到培养应用型数学人才 的重要性
5、 从1983年起 美国的一些 有识之士开始探讨组织一项应用数学 方面的竞赛的可能性 经过论证 争 论 争取资助等过程 终于在1985年 开始有了美国的第一届大学生数学建 模竞赛 简称MCM Mathematical Competition in Modeling 1987年改 11 为 Mathematical Contest in Modeling 竞赛由美国工业与应用数学学会和美 国运筹学学会联合主办 从1985年起每 年举行一届 在每年的二月下旬或三月 初某个星期五到星期日举行 数学建模竞赛 或称数学模型竞赛 不同于传统的纯数学竞赛 它不是挑 选数学尖子学生坐在考场里做某些正确 答案早已
6、由出题专家们做出来 正锁在 某 12 一保险箱柜里的数学难题 而是并没有 固定的考场 参赛的学生可能在图书馆 查阅资料 或者正在计算机房操作键盘 编写程序 处理大量的实验数据 也可 能在讨论问题 发表各自不同的见解 甚至正在非常激烈地争论某个问题 数学建模竞赛就是这样 它名曰数 学 当然要用到数学知识 但却与以往 的数学竞赛不同 它涉及到物理 化学 生物 医学 电子 农业 管理等各 学 13 科 各领域的知识 但又不是这些学科 领域里的纯知识竞赛 它涉及多学科领域 但又不受任何一个具体的学科领域的局 限 它用到各方面的综合知识 具体形式 如下 1 比赛形式 数学建模竞赛是团体赛 每个参赛队 由
7、三人组成 在规定的三天时间内共同完 成一份答卷 每个参赛队有一名指导教师 在比赛前负责培训与指导 每次的考题 有 14 两题 都是来自于实际的问题或有很强的 实际背景的问题 没有固定的范围 可能 涉及各个非常不同的学科领域 每个参赛 队从这两个考题中任意选取做一个题 参 赛队的三名队员可以相互讨论 可以查阅 资料 可以使用计算机和计算机软件 总 之 可以使用任何非生命的资源 但不允 许三人以外的其他人 包括指导教师 帮 助做题 参赛队的答卷是一篇完整的论文 包 15 括对所选取问题的重新阐述 对问题的 条件和假设的阐明和必要补充甚至修改 对为什么要用所述模型的分析 模型 的设计 对模型的测试和
8、检验的讨论 模型的优缺点等 还要有一个不超过一 页的论文内容的摘要 2 比赛结果 专家评卷时不对论文给分 而是将 论文分成一些等级 Outstanding 特等奖 16 Meritorious 一等奖 Honorable Mention 二等奖 Successful Participation 成功参赛奖 评卷的标准不是看答案对不对 而 主要看论文的思想方法好不好 以及论 文是否清晰 它看重的是下面三个步骤 建立模型 实际问题 数学问题 数学解答 数学问题 数学解 模型检验 数学解 实际问题的 解决 17 Outstanding 特等奖 的论文作为优秀 论文在专业杂志上发表而所有参赛的队 员和
9、教练都得到一张奖状 18 1 3 怎样建立数学模型 什么是数学模型 简言之就是用数学 的语言和方法对实际问题的抽象和描 述 牛顿万有引力定律便是数学模型 的一个很好的例子 一般来说 一个 好的数学模型应该具备下列特点 1 对所给问题有较全面的考虑 在一个实际问题中 往往有很多 19 因素同时对所研究的对象发生作用 因此 要对这些因素进行全面综合考虑 一般分 三步进行 1 列举各种因素 2 选取主因素计入模型 3 考虑其他因素的影响 对模型 进行修正 2 创造性地改造已有模型或自创新模型 20 MCM中的问题一般来源于实际工作 中遇到的未解决的问题 没有现成的理 论或模型可套用 因此 评价一个数
10、学 模型的优劣往往要看论文的创造性 即 是否结合实际提出自己的独到见解 但 因为时间有限 很难自创新的数学方法 来解决问题 所以往往是在现有的模型 上作出创造性的改进 3 善于在简单与复杂 精确与普适等 相反特征之间取得调和 21 数学模型应当是对实际问题的本质刻 划 如果考虑问题过于简单 则没有抓住 问题的本质 相反 如果将所有因素不分 主次一概计入模型 不仅显得十分庞杂 而且事实上无法求解 反而掩盖了问题 的本质 对于优化模型可以设计一些可调 参数使模型具有较广的适用性 但参数过 多 则会降低模型的精确性 而且显得过 于主观 要想建立一个好的模型 就必须 在相反的极端之间加以权衡 这有赖于
11、对 问题本质的深刻理解 22 4 注重结果分析 考虑其在实际中的 合理性 数学建模是一个从实际到数学 再 从数学到实际上的过程 由于现有的模 型仅依赖于题中数据 从模型得到的结 果是否符合实际 是模型好坏的重要标 志 5 善于对模型进行检验 数学模型建立起来了 也用数学方 23 法或数值方法求出了解答 是不是就万 事大吉了呢 不是 既然数学模型只能 近似地反映实际问题中的关系和规律 到底反映得好不好 还需要接受检验 如果数学模型建立得不好 没有正确地 描述所给的实际问题 数学解答再正确 也是没有用的 因此 在得出数学解答 之后 还要让所得的结论接受实际检验 看它是否合理 是否可行等等 如果 不
12、符合实际 还得设法找出原因 修改 原来的模型 重新求解和检验 直到比 较24 合理可行 才能算是得到了一个解答 可以付诸实施 但是 十全十美的 答案是没有的 因此 已得到的解答 一定还有改进的余地 还可以根据实 际情况 继续研究和改进 一般地用 数学建模求解实际问题 要注意上述5 个方面的问题 但对于一个具体的模 型的建立也不是一定要完全按这些步 骤进行 总之 抓住了本质的东西 建立 的模型才具有合理性 25 一个模型的优劣 最根本的是在 于是否采用恰当的方法 合理地描述了 实际问题 而不是取决于是否用到了高 深的数学知识 26 1 4 建立数学模型的具体方法与 步骤 一 数学建模方法大体分为
13、两大类 1 机理分析法 2 测试分析法 根据对现实对象特性的认识 分 析因果关系 找出反映内部机理 的规律 建立的模型常有明确的 物理或现实意义 机理 分析 法 27 将研究对象视为一个内部机理 信息未知的 黑箱 系统 根据 测量系统的输入输出数据 运 用统计分析等方法 按事先确 定的准则在某一类模型中选出 一个与数据拟合得好的模型 这个过程也称为系统辨识 测 试 分 析 法 28 二 数学建模的步骤 了解问题的实际背景 明确建 模的目的 搜集必要的信息 现象 数据 等 模 型 准 备 两种方法结合运用 用机理分析建立模型 的结构 用系统辨识 确定模型的参数 29 用精确的语言对问题作出假设
14、即对问题作必要的 合理的 简化 如将问题线性化 均匀 化等 这是关键的一步 模 型 假 设 根据分析对象的因果关系 利 用对象的内在规律和适当的数 学工具构造各个量之间的等式 不等式 关系或其他数学结 构 模 型 构 造 30 对求解结果进行数学上的分析 及预报 甚至给出最优决策或 控制 模 型 分 析 采用解方程 画图形 证明定 理 逻辑运算 数值运算等传 统方法和近代数学方法特别是 计算机技术求解模型 模 型 求 解 31 将模型应用到实际问题 模 型 应 用 将数学上分析的结果翻译到实 际问题 并用实际现象 数据 与之比较 检验模型的合理性 和适用性 不符合实际的要进 行重新建模 模 型 检 验 32 模型准备模型假设模型构造 模型求解 模型分析 检验模型应用 图1 1 建模步骤简图 33
