《圆知识拓展(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆知识拓展(一)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆知识拓展（一）【知识拓展】1如何巧测细管的内径？要测量一个很细的管子的内径，通常使用的卡钳太大，放不进去，不易直接测出结果来我们利用圆的有关知识，可巧妙地采用下面的间接测量方法把一个钢球放在细管的口上取管子的一段固定长度，当钢球放上以后，钢球与这段管子的总高度可以用卡钳量出这样，我们就可以计算管子的内径了如图7202，是过球心以及管子内径的两个端点A、B所作的截面图设钢球的直径为d，管子的长度为，钢球与这段管子的总高度为作直径CDAB，垂足为E，则2怎样作半径很大的圆弧？ 求作半径很大的圆弧是一个很有用的实际问题上海的万体馆和国际会议中心等都有大型的圆形建筑，场内的观众席都是排列成一组同心圆
2、弧因此在建馆（或场）时就遇到了求作半径很大的圆弧问题（在实际生活和工作中，我们也常会遇到同样的问题）由于圆的半径很大，就不能用通常圆规画圆的方法来作出圆弧下面介绍一种简便而实用的方法（见图7203）我们知道，利用相交弦定理可推出长的弦与所对应的劣弧所构成的弓形高h的计算公式（其中R为圆的半径）现在来作过A、B两点（A、B间距离为）、半径为R（R很大）的圆弧：过AB中点M作AB的垂线MC，且使（MC可用代数作图作出）则由垂径定理得C为的中点连结AC、BC，再作BAC的平分线和BC的垂直平分线交于点D则由圆周角与所对弧的关系和垂径分弦定理可知，D为的中点，它也是的四等分点照这样做下去，就可以得到的
3、八等分（）、十六等分的分点得到了大圆弧上足够多的点后，就可作出比较精确的大圆弧了3“高瞻远瞩”的奥秘是什么？人们常说“高瞻远瞩”日常生活经验也告诉我们，站得越高，看得越远为什么这样呢？我们知道，地球可看作是球形的如图7204，以O表示过地心的一个地球剖面，O为地心，地球半径为R（R约为6371千米）点P为人在地球表面上空所处的位置，海拔（即点P到海平面的垂直距离）PA=h自P引O的切线PT当人向远方眺望时，切点T即为人在地球表面的视线的终点（假设人向平坦的海平面眺望，且没有山峰、云雾等自然条件阻碍），PT就是人的视线距离设PTS PT为O的切线，OTPT上式中，R为地球半径，是一个定值由此可知
4、h值越大（即人站得越高），S值就越大（视线距离越大，即看得越远）我们不妨计算当人分别站在海拔为100米和500米的临海的两座山巅，向大海眺望时视线的最大距离，然后比较：（1）海拔为100米时，千米（人体身高忽略不计），这时人视线的最大距离为（2）海拔为500米时，由以上两种情况比较可以看出，“高瞻远瞩”是有科学根据的其实，我们身边的许多生活经验都是有一定科学道理的，同学们不妨找找看4“欲穷千里目，更上一层楼”的楼至少该有多高?唐代著名诗人王之涣有一首著名的登鹳雀楼诗：白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼。诗里所说的“千里”泛指远处，是一种夸张的比喻但如果我们有兴趣，也不妨来计算一下，
5、要在一幢高楼上看到1000里（500千米）处的景物，这幢楼至少有多高？解完下面这道题就清楚了如图7-205，O为地球中心表示地面，C点离A点500千米，即的长为500千米当然，人站在A点是无法看到C点处的景物的因此需要登上AB这“层”楼到B处这时人的视线BC在 C点处与相切，AB即为楼的最小高度因为ABOBOA，OA是地球的半径，约等于6371千米，所以只要计算出OB就可以了所以ABOB-OA=63916371=20（千米）以上计算表明，这“层”楼至少要20千米，远远超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度，这样高的楼当然是没有的5怎样证明四点共圆？在证题时，当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据
6、条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决这种方法常称之为“作辅助圆”方法其中，判定四点共圆的常用方法有以下四种（1）在同一平面内，如果四个点与某定点的距离都相等，那么这四点共圆（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆（3）如果四边形的一个外角等于它的内对角，则此四边形的四个顶点共圆（4）如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆例1 证明菱形各边的中点在同一个圆上已知：如图7206，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点求证：E、F、G、H四点共圆思路启迪 连结AC、BD交于O点
7、在RtDOC中，因G为斜边CD的中点，所以OG等于菱形边长的一半同理OE、OF、OH都等于菱形边长的一半，即OE=OF=OGOH所以E、F、G、H四点共圆例 2 在图7207中，ABAC=AD，如果DAC是CAB的k倍（k为正数）那么DBC是BDC的（ ）Ak倍B2k倍C3k倍D以上答案都不对思路启迪 由ABACAD知B、C、D都在以A为圆心、AB为半径的圆上因为DAC的度数等于的度数，CDB的度数度数的一半，所以而DBC的度数的度数，CDB的度数所以DBC=kBDC于是答案是A例3 已知：如图7208，ABC的两条高AD、BE相交于H点，延长AD交外接圆于点G求证：HD=DG思路启迪 由AD
8、、BE是ABC的两条高线，考虑到H为垂心，连结CH并延长交AB于F点，则由B、D、H、F四点共圆，得CHD=ABC；连结CG，由A、B、G、C四点共圆，得ABC=AGCCHG=CGHHDDG例4 已知：如图7209，直线MN与O相离，OAMN于A，ABC为O的割线，过B、C两点的二切线分别交MN于D、E求证：OEDODE思路启迪连结OB、OC，则OBBD，OCCE于是有O、E、A、C四点共圆1=OEA又O、A、D、B四点共圆，2=ODA 易证1=2，则OED=ODE获证例5 已知：如图7-210，在以AB为直径的半圆上有两点C、D，AD和BC交于E点求证：思路启迪 连结 AC、BD，则ACB=
9、ADB=90作EFAB于F点，则E、F、B、D四点共圆根据割线定理，得AEADAFAB同理BEBCFBAB所以6“五点共圆”是怎样留下佳话美谈的?世纪之交，江泽民主席视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题随后江主席又亲笔为函濠江中学寄去参考答案，他说，初中是人生道路上很重要的一步江泽民主席以自己优秀的数学素养，证明了数学对一个人的全面发展的重要作用“五点共圆”将在数学教育史上留下佳话美谈现在将这道题解出供同学们欣赏延长任意五边形ABCDE的各边，在它的外部得五个三角形FAB、GBC、HCDKDE、LEA则这五个三角形外接圆的五个交点、在同一个圆上（如图7-211）思路启迪 要
10、证五点在同一个圆上，可先从其中任选四个点，证明它们在同一个圆上，如果结论成立，则同理可再选另外四点也在同一个圆上由于“不在一直线上的三个点可以作一个圆并且只可以作一个圆”实际上这两个圆是同一个圆，即“五点共圆”成立四边形“共圆”的性质是“对角互补”、“外角等于内对角”，性质的逆命题即“四点共圆”的判定定理规范解法 先证A、B、D、E四点共圆因为E、K、D、D四点共圆，所以EKD=HDD，(1)又因为H、C、D、D四点共圆，连结CD，则有HDD=HCD (2)由(1)、(2)得EKD=HCD所以F、K、D、C四点共圆，同理可证：F、B、D、K四点共圆所以F、C、K、B、D五点在同一个圆上又因为E
11、、E、K、D四点共圆，所以1=2 (3)连结DB因为F、B、D、K四点共圆(已证)，所以2=3 (4)由(3)、(4)得 1=3又因为A、A、E、E四点共圆，所以4=5 (5)又A、A、B、F四点共圆，所以5=6 (6)由(5)、(6)得 4=6因为6十3+ABD=180，所以AED+ABD=180所以A、B、D、E四点共圆同理可证，A、B、C、E也共圆又A、B、E确定一个圆，所以A、B、C、D、E五点在同一个圆上7为什么说正多边形的都有一个外接圆和一个内切圆，而且这个圆是同心圆？回答这个问题的关键，是能否确定一个点O，它到正多边形各边的距离相等，到正多边形各顶点的距离也相等如果能确定符合上述
12、两个条件的点，由于圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小，显然，正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆如图7212，设正n边形的边长为，内角为因为不在同一条直线上的三个点决定一个圆，所以可设的外接圆为O那么，O点为和的垂直平分线和的交点，且从上述分析可以看出，O点就是满足到各顶点距离相等，到各边的距离也相等的点，所以正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆8怎样作正五边形?利用圆规与直尺作正五边形大致有三种情形例1 已知圆的半径R，求作圆内接正五边形作法：方法一：作圆O的任意半径，并使连BO，以B为圆心，为半径画弧截BO于点C；以O为圆心、OC为半径作弧截于点M从
13、点起顺次截取等于OM的弦，将、顺次连结，即为内接正五边形（见图7213（1）方法二：作互相垂直的直径、PQ作OQ的垂直平分线交OQ于点E以 E为圆心，为半径作弧交OP于点F在O上，从点起，顺次截取等于的弦，顺次连结、得正五边形（见图7213（2）例2 已知五边形的边长AB=a，求作正五边形作法：方法一：作ABBC，并且以点C为圆心，CB为半径作弧交AC延长线于点F；以A、B为圆心，AF为半径作弧交于点D；以A、B为圆心，AB为半径与上两弧分别交于点E、G，则ABGDE为所作正五边形（见图7213（3）方法二：（近似作法）作AB的垂直平分线MN交AB于点O，并且截取ON3AO，连NA、NB以A、B为圆心，AB为半径作弧分别交NA、NB延长线于点C、D；以C为圆心，AB为半径作弧交MN于点E连结EC、ED则ABDEC为近似正五边形（见图7213（4）10 / 10
