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1、 .抛物线与不等式一选择题1(2014南宁)如图,已知二次函数y=x2+2x,当1xa时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是()Aa1B1a1Ca0D1a2 (1) (2) (3)2(2014黄石)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,则函数值y0时,x的取值范围是()Ax1Bx3C1x3Dx1或x33(2014义乌市)如图是二次函数y=x2+2x+4的图象,使y1成立的x的取值范围是()A1x3Bx1Cx1Dx1或x34(2013槐荫区二模)如图,直线y=x与抛物线y=x2x3交于A、B两点,点P是抛物线上的一个动点,过点P作直线PQx轴,交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为
2、m,则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是()Ax1或xBx1或x 3Cx1或x3Dx1或1x3 (4) (5) (6)5(2012石家庄二模)如图,一次函数y1=mx+n(m0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a0)的图象相交于两点A(1,5)、B(9,3),请你根据图象写出使y1y2成立的x的取值范围()A1x9B1x9C1x9Dx1或x9二解答题6(2013香洲区二模)先阅读理解下面的例题,再按要求解答后面的问题例题:解一元二次不等式x23x+20解:令y=x23x+2,画出y=x23x+2如图所示,由图象可知:当x1或x2时,y0所以一元二次不等式x23x+20的解集为x1
3、或x2填空:(1)x23x+20的解集为_;(2)x210的解集为_;用类似的方法解一元二次不等式x25x+607(2010淮北模拟)如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2)(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)求不等式x2+bx+cx+m的解集(直接写出答案)8(2005滨州)()请将下表补充完整;判别式=b24ac0=00二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1=,x2=,(x1x2)有两个相等的实数根x1=x2=无实数根使y0的x的取值范围xx1或xx2不等式ax2+bx+c0(
4、a0)的解集x不等式ax2+bx+c0(a0)的解集()利用你在填上表时获得的结论,解不等式x22x+30;()利用你在填上表时获得的结论,试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式;()试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)时的解题步骤9已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为实数且a0)满足条件:对任意实数x都有y2x;且当0x2时,总有y成立(1)求a+b+c的值;(2)求ab+c的取值范围10已知函数y=x22x3的图象,根据图象回答下列问题(1)当x取何值时y=0(2)方程x22x3=0的解是什么?(3)当x取何值时,y0?当x取何值时,y0
5、?(4)不等式x22x30的解集是什么?11(2008株洲)如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,1),二次函数y=x2的图象为l1(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可);(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A、B两点,记抛物线为l2,如图2,求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标;(3)设P为y轴上一点,且SABC=SABP,求点P的坐标;(4)请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q,使QAB为等腰三角形?若存在,请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明
6、理由12把抛物线y=x2向右、向下平移,使它经过点A(1,0)且与x轴的另一个交点B在A的右侧,与y轴交于点C,如图所示(1)求ABC的度数;(2)设D是平移后抛物线的顶点,若BDBC,试确定平移的方法13把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,问所得的抛物线与x轴有没有交点,若有,求出交点坐标;若没有,说明理由14(2014南安市一模)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒将线段CP的中点
7、绕点P按顺时针方向旋转90得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;(2)求t为何值时,DPA的面积最大,最大为多少?(3)在点P从O向A运动的过程中,DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值若不能,请说明理由;(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长15如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=DC=4厘米,BC=8厘米,在等腰PQR中,QPR=120,底边QR=12厘米,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合如果等腰PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方
8、厘米(1)当t=2时,求S的值;(2)当6t10时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值16如图,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分别是OC、BC上的动点,EC+CF=8当F运动到什么位置时,AEF的面积最小,最小为多少?抛物线与不等式参考答案与试题解析1B 2D 3D 4D 5A 二解答题6解:(1)解x23x+2=0得x1=1,x2=2,所以,不等式x23x+20的解集为1x2;(2)解x21=0得,x1=1,x2=1,所以,不等式x210的解集为x1或x1;令y=x25x+6,解x25x+6=0得,x1=6,x2=1,所以一元二次不等式x25x+60的解集为6x1故答案为:(
9、1)1x2;(2)x1或x17解:(1)把点A(1,0),B(3,2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得:0=1+m,m=1,b=3,c=2,所以y=x1,y=x23x+2;(2)x23x+2x1,解得:x1或x38解:()判别式=b24ac0=00二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根使y0的x的取值范围x全体实数不等式ax2+bx+c0(a0)的解集xx1或xx2全体实数不等式ax2+bx+c0(a0)的解集x1xx2无解无解()由原不等式,得x2+2x30,=4+120,解方程x2+2x3=0,得不相等的两个实数根分别为x1
10、=3,x2=1,a=10,原不等式的解集为:x3或x1;(若画出函数y=x2+2x3的图象,并标出与x轴的交点坐标而得解集的,同样可以)()如x2+x+10等,(只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可);()(1)先把二次项系数化为正数;(2)求判别式的值;(3)求方程ax2+bx+c=0的实数根;(4)写出一元二次不等式的解集9解:(1)由题意可知对任意实数x都有y2x,当x=1时,y2;且当0x2时,总有y成立,故当x=1,y2,当x=1时,y=2,故二次函数y=ax2+bx+c经过(1,2)点,a+b+c=2;(2)ax2+bx+c2x,ax2+(b2)x+c0,由(1)知b=2ac,
11、代入得=(a+c)24ac0,(ac)20,所以c=a,b=22a再列得ax2+bx+c(x+1)2,把c=a,b=22a代入可得 (a)x22(a)x+a0,(a)(x1)20, 因为0x2,(x1)0,故a根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a0综上所述,a的取值范围是0a,ab+c=4a2,把a的取值范围代入可得2ab+c010解:(1)由图象知,函数y=x22x3与x轴的交点为(1,0),(3,0),所以当x=1或3时,y=0;(2)由图象知,x22x3=0的解为x1=1,x2=3;(3)由图象知,当1x3时,y0,当x1或x3时,y0;(4)不等式x22x30的
12、解集为1x311解:(1)让抛物线过点A,即把点A的坐标代入计算,得到,b+c=1,不过点B,则把点B的坐标代入得到3b+c8,依此两个要求,随便找一个数即可故平移后的抛物线的一个解析式y=x2+2x3或y=x2+4x5等(满足条件即可);(2)设l2的解析式为y=x2+bx+c,联立方程组,解得:,则l2的解析式为y=x2+x点C的坐标为()(3)如答图1,过点A、B、C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则AD=2,CF=,BE=1,DE=2,DF=,FE=得:SABC=S梯形ABEDS梯形BCFES梯形ACFD=延长BA交y轴于点G,直线AB的解析式为y=x,则点G的坐标为(0,),设点P的坐标为(0,h),当点P位于点G的下方时,连接AP、BP,则SABP=SBPGSAPG=h,又SABC=SABP=,得,点P的坐标为(0,)当点P位于点G的上方时,同理,点P的坐标为(0,)综上所述所求点P的坐标为(0,)或(0,)(4)作图痕迹如答图2所示若AB为等腰三角形的腰,则分别以A、B为圆心,以AB长为半径画圆,交抛物线分别于Q1、Q2;若AB为等腰三角形的底边,则作AB的垂直平分线,交抛物线分别于Q3、Q4,由图可知,满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4,共4个可能的位置12解: