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1、 .第五章 定积分(A层次)1; 2; 3;4; 5; 6;7; 8; 9;10; 11; 12;13; 14; 15;16; 17; 18;19; 20; 21;22; 23; 24;25。(B层次)1求由所决定的隐函数对的导数。2当为何值时,函数有极值?3。4设,求。5。6设,求。7设,求。8。9求。10设是连续函数,且,求。11若,求。12证明:。13已知,求常数。14设,求。15设有一个原函数为,求。16设,在上,求出常数,使最小。17已知,求。18设,求。19。20设时,的导数与是等价无穷小,试求。(C层次)1设是任意的二次多项式,是某个二次多项式,已知,求。2设函数在闭区间上具有连
2、续的二阶导数,则在内存在,使得。3在上二次可微,且,。试证。4设函数在上连续,在上存在且可积,试证()。5设在上连续,求证存在一点,使。6设可微,求。7设在上连续可微,若,则。8设在上连续,求证 。9设为奇函数,在内连续且单调增加,证明:(1)为奇函数;(2)在上单调减少。10设可微且积分的结果与无关,试求。11若在连续,证明:。12求曲线在点(0,0)处的切线方程。13设为连续函数,对任意实数有,求证。14设方程,求。15设在上连续,求证:()16当时,连续,且满足,求。17设在连续且递减,证明,其中。18设连续,试证:。19设是上的连续函数,试证在内方程至少有一个根。20设在连续,且,又,
3、证明:(1) (2)在内有且仅有一个根。21设在上连续,则。22设是以为周期的连续函数,证明:。23设在上正值,连续,则在内至少存在一点,使。24证明。25设在上连续且严格单调增加,则。26设在上可导,且,则。27设处处二阶可导,且,又为任一连续函数,则,。28设在上二阶可导,且,则。29设在上连续,且,证明在上必有。30在上连续,且对任何区间有不等式(,为正常数),试证在上。第五章 定积分(A)1解:原式2解:令,则 当时,当时 原式 3解:令,则 当,时分别为, 原式 4解:令,则, 当,1时, 原式5解:令, 当时,;当时, 原式 6解:令,则, 当时 原式7解:原式 8解:原式 9解:
4、原式 10解:为奇函数11解:原式 12解:为奇函数13解:原式 14解:原式 15解:原式 16解:原式 故17解:原式 18解:原式 故19解:原式 20解:原式 21解:令,则原式 22解:原式 23解:原式 24解:原式 故25解:令,则原式 故 (B)1求由所决定的隐函数对的导数。解:将两边对求导得 2当为何值时,函数有极值?解:,令得 当时, 当时, 当时,函数有极小值。3。解:原式 4设,求。解: 5。解: 6设,求。解:当时, 当时, 当时, 故。7设,求。解: 8。解:原式 9求。解:原式 10设是连续函数,且,求。解:令,则,从而即,11若,求。解:令,则, 当时, 当时,
5、 从而12证明:。证:考虑上的函数,则 ,令得 当时, 当时, 在处取最大值,且在处取最小值 故 即。13已知,求常数。解:左端 右端 解之或。14设,求。解:令,则 15设有一个原函数为,求。解:令,且 16设,在上,求出常数,使最小。解:当最小,即最小,由知,在的上方,其间所夹面积最小,则是的切线,而,设切点为,则切线,故,。于是 令得从而,又,此时最小。17已知,求。解: 18设,求。解:设,则 解得:,于是19。解:原式 20设时,的导数与是等价无穷小,试求。解: 故(C)1设是任意的二次多项式,是某个二次多项式,已知,求。解:设,则 令 于是, 由已知得2设函数在闭区间上具有连续的二
6、阶导数,则在内存在,使得。证:由泰勒公式 其中,位于与之间。 两边积分得: 令,则 ,。3在上二次可微,且,。试证。证明:当时,由,知是严格增及严格凹的,从而及故 4设函数在上连续,在上存在且可积,试证 ()。证明:因为在上可积,故有 而, 于是 5设在上连续,求证存在一点,使。证:假设, 由已知,得 故 从而因为在连续,则或。从而或,这与矛盾。故。6设可微,求。解:令,则,显然 于是。7设在上连续可微,若,则。证:因在上连续可微,则在和上均满足拉格朗日定理条件,设,则有 故。8设在上连续,求证 。证: 令,则 于是 故 9设为奇函数,在内连续且单调增加,证明:(1)为奇函数;(2)在上单调减
7、少。证:(1) 为奇函数。 (2) 由于是奇函数且单调增加,当时, ,故,即在上单调减少。10设可微且积分的结果与无关,试求。解:记,则 由可微,于是 解之(为任意常数)11若在连续,证明:。解:因 所以。12求曲线在点(0,0)处的切线方程。解:,则,故切线方程为:, 即。13设为连续函数,对任意实数有,求证。证:两边对求导 即 令,即得。14设方程,求。解:方程两边对求导,得 从而 15设在上连续,求证: ()证:设为的原函数,则 左边 右边。16当时,连续,且满足,求。解:等式两边对求导,得 令得 将代入得: 故。17设在连续且递减,证明,其中。证: 则 , 由于递减, 故 即。18设连
8、续,试证:。证: 在第一个积分中,令,则 而 故19设是上的连续函数,试证在内方程至少有一个根。证:由积分中值定理,存在使 即 故是方程的一个根。20设在连续,且,又,证明:(1) (2)在内有且仅有一个根。证:(1) (2), 又在连续,由介值定理知在内至少有一根。 又,则单增,从而在内至多有一根。 故在内有且仅有一个根。21设在上连续,则。证: 令,则 故22设是以为周期的连续函数,证明:。证: 令,则 (以为周期) 故23设在上正值,连续,则在内至少存在一点,使。证:令 由于时,故 故由零点定理知,存在一点,使得 即 又 故。24证明。证:设,则 令,则 故25设在上连续且严格单调增加,则。证:令 则 ,在严格单增则,从而即故26设在上可导,且,则。证:由假设对,可知在上满足微分中值定理,则有 , 又因, 故