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1、 .二次函数的图像与性质专项练习【知识要点】 1二次函数:形如 的函数叫做二次函数.2二次函数的图像性质:(1)二次函数的图像是 ;(2)二次函数通过配方可得为常数),其顶点坐标为 。(3)当时,抛物线开口 ,并向上无限延伸;在对称轴左侧时,y随x的增大而减小;在对称轴右侧时,y随x的增大而增大;当时,函数有 .当时,抛物线开口 ,并向下无限延伸;在对称轴左侧时,y随着x的增大而增大;在对称轴右侧时,y随着x的增大而减小;当函数有 。 3二次函数的图像平移:(1)二次函数的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同(的取值决定抛物线的形状).将的图像向右(h0)、向左(h0)、向下(k 0时,
2、函数图象截x轴所得的线段长度大于; 当m 时,y随x的增大而减小; 当m 0时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. B. C. D. 变式训练1.已知二次函数的图像如图所示,则下列结论正确的是( )第(2)题yxOA. B. C. D. 第(1)题 第(3)题2已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论:( );3. 已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论: ; ; ; ; ,(的实数)其中正确的结论有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个考点二次函数图像平移例2. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为,则b、c的值为( ) A . b=2,
3、 c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2变式训练1把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式 ( )2.若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,则E(x,)可以由E(x,)怎样平移得到?3如图,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 yOBAx11(例3图)yxO(第3题)考点确定二次函数解析式例3如图,在平面直角坐标系中,且
4、,点的坐标是(1)求点的坐标;(2)求过点的抛物线的表达式;(3)连接,在(2)中的抛物线上求出点,使得变式训练1二次函数的图象与轴的交点如图所示,根据图中信息可得到的值是 第1题图 第2题图2已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当,时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 .3.如图,已知二次函数的图象经过A(2,0)、B(0,6)两点。(1)求这个二次函数的解析式(2)设该二次函数的对称轴与轴交于点C,连结BA、BC,求ABC的面积。ABCDyPxO(第4题图)yxCAOB第3题4如图,已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个
5、顶点A、B,AB平行于x轴,对角线BD与抛物线交于点P,点A的坐标为(0,2),AB4(1)求抛物线的解析式;(2)若SAPO,求矩形ABCD的面积5.将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(3,0)(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当APE的面积最大时,求点P的坐标;(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使AGC的面积与(2)中APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由第5题图考点确定二次函数
6、与方程、不等式、一次函数、反比例函数例1. 抛物线图像如图所示,则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为( )xxxxx第15题图变式训练1.若正比例函数与反比例函数的图象交于点则的值是(). 考点5二次函数与几何的综合题例5如图,抛物线yax2bxc经过点A(4,0)、B(2,2),连结OB、ABABxOy(1)求该抛物线的解析式;(2)求证:OAB是等腰直角三角形;(3)将OAB绕点O按顺时针方向旋转135得到OAB,写出AB的中点P的坐标,试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由变式训练1在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A,B,C三点(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象
7、限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标 第1题 第2题2.在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(6,0),C(0,3).(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)过点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;(3)若抛物线的顶点为,连结C、D,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.基础演练1. 若二次函数配方后为则、的值分别为(
8、)2.在直角坐标系中,若解析式为 的图像沿着轴向左平移两个单位,再沿着y轴向下平移一个单位,此时图像的解析式为( )3二次函数yax2bxc的图象如图所示,反比例函数y 与正比例函数y(bc)x在同一坐标系中的大致图象可能是( )A B C D4如图,两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )8 6 10 4(4题图) 5. 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米. 第7题6
9、.二次函数,当时,的取值范围是7图为二次函数的图象,给出下列说法:;方程的根为;当时,y随x值的增大而增大;当时,其中,正确的说法有 (请写出所有正确说法的序号)8已知点A(1,1)在二次函数图像上。(1)用含的代数式表示;(2)如果该二次函数的图像与轴只有一个交点,求这个二次函数的图像的顶点坐标。9一开口向上的抛物线与x轴交于A(m2,0),B(m2,0)两点,记抛物线顶点为C,且ACBC(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得BCD为等腰三角形?若存在,求
10、出m的值;若不存在,请说明理由第9题图能力提升1方程x2+2x1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程x3+x1=0的实根x所在范围为( )A B C D2已知实数的最大值为 3如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1,且抛物线经过A(1,0)、B(0,3)两点,与x轴交于另一点B(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一动点,求使PCB90的点P的坐标xyOx1第3题ACB4已知二次函数中,函数与自变量的部分对应
11、值如下表:(1)求该二次函数的关系式;(2)当为何值时,有最小值,最小值是多少?(3)若,两点都在该函数的图象上,试比较与的大小5已知平面直角坐标系xOy,抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.6已知抛物线yx22x2(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ;(2)选取适当的数据填入下表,并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1x21,试比较y1与y2的大小7如图,抛物线y =