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1、现代控制理论 Modern Control Theory 7 俞 立 浙江工业大学 信息工程学院 第3章 能控性和能观性分析 状态空间模型建立了输入 状态 输出之间的关系 y u x 状态方程反映控制输入对状态的影响 x Ax Bu 输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖 y t Cx t Du t 运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响 问题 希望系统有期望的运行 能否通过适当的外部输 入来实现呢 有两个问题 系统是否有这样的能力 如何来设计相应的控制器 前一个问题是分析 提出了能控性概念 后一个问题是设计 需要有各种设计方法 能控性是系统的一种能力 状态能控性和输出能控 卡尔
2、曼提出了能控性概念 奠定了现代控制理论基础 作业 查阅能控性的原始文章 报告文章中的原始思想 3 1 系统的能控性 x Ax Bu 系统模型 定义 对系统的一个状态x 存在某个时间段 0 T 0 上定义的控制信号u 使得在该控制信号的作用下 系统状态从x 转移到x T 0 0 x 则称状态x 是能控的 0 x0 若系统的所有状态都是能控的 则称系统是完全能控的 O Tt 也简称为能控的 有时也称矩阵对 A B 是能控的 问题 如何来判断能控性呢 能控性判据 根据定义 能控性判断要求找到到使得闭环系统状态从 初始状态转移到零状态的一个控制律 T 由运动分析 x T e T x e T Bu dA
3、 A 0 0 T x T 0A B e u d 0 e ATx T 0 o T AT e A T Bu d e x0 o T x e Bu d A 0 0 n 1n 1 T A A 0 k x a Ak Bu d e k 0k k 0 k 0 n 1 T Ak B a u d k 0 k 0 n 1 T 则 0 x Ak B a u d 0k k 0 0 n 1 Ak B B B AB L An 1 1 k M k 0 n 1 T a u d 其中的 kk 0 即 如果系统能控 则线性方程组 一定有解 n 1 B AB L A B x 0 理论上可以证明 以上结果的逆也是成立的 从而 能控性问
4、题转 化为线性方程组的可解性问题 线性方程组Ax b对所有的b有解的充分必要条件是系数 矩阵A 满秩 定理3 1 1 系统完全能控的充分必要条件是 rank A B rank B AB L A B n n 1 c A B 能控性检验矩阵 c 特点 只依赖状态矩阵A和输入矩阵B 和时间长 短无关 A B 是否满秩的方法 c SISO 计算 c A B 的行列式 MIMO 计算行列式 T A B A B cc MATLAB 命令 ctrb A B SISO det ctrb A B MIMO det ctrb A B ctrb A B 例3 1 1 检验由以下状态方程描述的系统的能控性 x 1 1
5、 x 1 1 1 u x 0 1 x0 2 2 解 能控性检验矩阵 1 1 1 1 1 1 A B B AB c 0 0 1 00 0 1 1 c A B 不是满秩的det det A B 0 0 0 c 故系统不能控 例3 1 2 考虑倒立摆系统 线性化状态空间模型的 系数矩阵是 m y mg l u M 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 1 A B 0 1 0 10 1 1 0 1 0 能控性检验矩阵 A B B AB A2B A3B c 0 10 11 det 100 0 A B 1 0 110 c 故系统是能控的 解释 系统的状态 T x y y 例
6、3 1 4 考虑能控标准型 x 0 1 0 x 0 1 1 x 0 0 1 x 0 u 22 a a a x x1 30123 0 0 01 1 AB 1 A B 0 1 a2 a a 2 A B A AB 2 a 2 c 1 a a 2 2 a a 2 221 1 能控性检验矩阵总是非奇异的 故系统是能控的 能控标准形 能控的 特殊的结构 定理 系统完全能控的充分必要条件是存在常数T 0 使得n 维矩阵 T A T W 0 T e t BB e tdtAT c 0 是非奇异的 构造控制律 T T A t 1 c u t B e W 0 T x 0 T x AT x T e e A T d B
7、u 0 0 T BBT AT Wc 1 0 T x0 e ATx e A T e d 0 0 e ATx e ATW 0 T 0 T xW 1 c0c0 0 由能控性定义得到系统的能控性 定理的说明 1 若系统能控 则对所有时间T W 0 T 都是非奇异的 c 2 若W 0 T 非奇异 则可以构造出将非零初始状态转 c T 移到零状态的控制律 T A t 1u t B e W 0 T x c0 3 若系统能控 由 1 可在任意短时间内将非零状 态转移到零状态 T T AtT A t W 0 T e BB e dt能控格拉姆矩阵 c 0 c 1 随着T 的减小 W 0 T 减小 增加W 0 T
8、c T T A t 1 c u t B e W 0 T x 0 将随着T 的减小而增大 消耗更大能量 控制律是一个开环控制信号 3 1 3 关于能控性的一些性质 能控性判据基于状态方程的系数矩阵 问题 不同的状态空间模型表示是否有相同的能控性 定理3 1 3 等价的状态空间模型具有相同的能控性 1 x Ax Bu A TAT B TB y Cx DuC CT D D 1 A B B AB L An 1B c TB TAT 1TB L TAT 1 n 1TB T B AB L An 1B T A B c T是非奇异矩阵 A B 和 A B 具有相同的秩 cc 问题 任意一个能控系统模型是否可以等
9、价转化为能 控标准型呢 定理 单输入能控系统的任意状态空间模型都能等价变 换成能控标准型 证明 系统的状态方程 x Ax Bu 系统能控W B AB An 1B 是可逆的 L 要求寻找一个状态变换 x Tx 使得变换后的方程 x Ax Bu 01 0 M 00 0 L 01 L 00 A TAT 1 MM O M B TB M 000 L 10 a a a L a1 n 1 012 是能控的 故其能控性检验矩阵 A B W B AB L An 1B 也是可逆矩阵 A B T A B TW W cc 因此 要寻找的变换矩阵 T WW 1 算法 Step 1 确定系数 det a a a I A n n 1 L n 110 Step 2 构造矩阵对 A B Step 3 计算 n 1 n 1 W B AB L A B W B AB L A B Step 4 计算变换矩阵 1 T WW 优点 对一个能控系统的分析和设计 只要考虑能控标 准形状态空间模型 连续系统能控性概念可以推广到离散系统 问题 一个连续系统模型可以离散化 那么离散化对系 统的能控性有何影响呢
