《现代控制理论李雅普诺夫稳定性定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论李雅普诺夫稳定性定理（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、现代控制理论ModernControlTheory 10 俞立 浙江工业大学信息工程学院 4 2李雅普诺夫稳定性定理 通过分析系统能量的变化来确定系统运动的稳定性 D A C 系统的运动方程是x t f x t t B 一个能量函数 应该是正定的 V x t 沿状态轨线 系统能量的变化率 T V t n V dV x t dt x x i 1 T V t n V f x t x i 1 如果它是负定的 则沿状态轨线 系统能量是减少的 定理4 2 1对非线性系统x t f x t t 原点是系统的平衡状态 若存在具有连续一阶偏导数的标量函数V x t 1 V x t 是正定的 2 沿系统的任意轨
2、线 关于时间的导数dV x t dt负定则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的 x V x t 则系统是大范围渐近 进而 当稳定的 若 满足条件 1 和 2 的函数V x t 称为是系统的李雅 普诺夫函数 定理的说明 9给出的判据是充分的 即找到一个李雅普诺夫函数 则可断定系统渐近稳定 找不到 则没有结论 9没有给出如何来找李雅普诺夫函数 仍未解决 9对于线性系统 渐近稳定 大范围渐近稳定 9若dV x t dt半负定 则系统是稳定的 9定理适合于线性 非线性 时变 定常系统 例分析以下系统在原点处的稳定性 x xx xx 2 2 1 2 1 1 2 x 2 xx xx 2 2 1 2 1 2
3、 x 2 2 解原点是系统的惟一平衡状态 选取V xx 1 2 它是正定的 沿系统的任意轨线 dV x dt 2xx 2xx 11 22 2x xx xx 2x xx xx 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 xx 2 22 1 2 上式是负定的 因此V x 是系统的李雅普诺夫函数 且V x 是径向无界的 故系统渐近稳定 对系统能量函数 V xx x 2 2 1 2 沿系统轨线dV x dt的负定性表明系统状态运动时 能 量是减少的 x2 V增大方向 V x x x C 21 22 x0 给出的是以原点为中心的一族同心圆 随时间推移 C不断减小 从而状态不断趋向于零 O
4、 x1 C1 C2 C3 C C C3 1 2 条件dV x t dt负定性的降低 定理4 2 2对非线性系统x t f x t t 原点是系统的 平衡状态 若存在具有连续一阶偏导数的标量函数 V x t 1 V x t 是正定的 2 沿系统任意轨线 关于时间导数dV x t dt半负定3 在系统任意轨线上 dV x t dt不恒等于零 x V x t 4 当 则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐近稳定的 好处 可以简化稳定性分析 例分析系统的稳定性 x x 1 2 x 1x x 2 x 2 1 2 2 x x 0 选取V x x2 x2 解系统的平衡状态为0 1 2 1 2 x 2 2 1
5、V xx是正定的 1 2 V x 2 V x2 1 2x 1x 2 2 dV dt x 2x2x 2 2 x xx 1 2 x 1 x 2x 1 2 1 2 2 2 是半负定的 0或x x Vxt 2 3 若d d0 2 1 2x 1x 0 2 2 2 2 x 由第2个状态方程得 0 x 0 2 1 x 由第2个状态方程得0 1 x 1 2 x 0 x 1不满足第1个方程 故不是系统轨线 1 2 即在系统的任意轨线 dV x dt不可能恒等于零 根据定理4 2 2 系统是渐近稳定的 针对以上例子 对 1 x 2 2 22 V xx 2x2x 1 2 1 2 由于 dV x dt x x x x
6、 2xx 2xx 1 2 1 2 11 22 x2 x2 0 1 2 故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数 表明 针对一个平衡状态 可以有多个李雅普诺夫函数 定理4 2 3设原点是系统x t f x t t 的平衡状态 若存在标量函数V x t 满足 1 V x t 在原点附近的某个邻域内是正定的 2 dV x t dt在同样邻域内也是正定的 则系统在原点处是不稳定的 11 例分析系统的稳定性 x x 11 选取正定函数 2 2 V x xx 1 2 dV x dt 2xx 2xx 11 22 不稳定 2x x x 2x x x 11 2 2 1 2 2 xx 0 2 2 1 2 4 3线性系统
7、的稳定性分析 对一个一般系统 寻找一个李雅普诺夫函数 存在的问题 9稳定性判别的充分条件 9没有给出具体李雅普诺夫函数的构造方法 问题 对特殊的系统 是否有更好的结论呢 线性时不变系统 x Ax 候选的李雅普诺夫函数 T V x xPx 李雅普诺夫函数 本身是正定 时间导数负定 V x xTPx正定 矩阵P是正定的 沿系统轨线的时间导数 L dV dtx x x TPx xTPx AxTPx xTPAx xTATPx xTPAx T x APPA xT APPA0 T L x 0 V x xTPx 是一个李雅普诺夫函数的条件是 存在一个对称正定矩阵P 使得以下矩阵不等式成立 AP PA 0 T
8、 定理线性时不变系统x Ax渐近稳定的的充分必要 条件是存在一个对称正定矩阵P 使得AP PA 0 T 特点 条件是充分必要的 给出了李雅普诺夫函数的具体构造方法 AP PA T 0 关键的问题 如何求解矩阵不等式 李雅普诺夫方程处理方法 转化成方程来处理 对任意选定的对称正定矩阵Q 若AP PA Q 李雅普诺夫方程 T 有一个对称正定解P 则矩阵P一定满足矩阵不等式AP PA 0 李雅普诺夫不等式 T 定理线性系统渐近稳定的充分必要条件是李雅普诺夫方程存在对称正定解矩阵 说明 李雅普诺夫方程的可解性不依赖矩阵Q的选取 李雅普诺夫方程是一个线性方程组 若李雅普诺夫方程可解 则其中矩阵Q的含义是
9、 dV dtx xTQx 例应用李雅普诺夫方程方法分析系统稳定性 01 x x 1 1 解原点是系统的惟一平衡点 解方程 AP PA I T p p 系统是二阶的 故 11 12 P p p22 12 0 1 pp pp 01 10 11 12 11 12 0 1 1 1pp pp 1 1 22 12 22 12 2p 1 2p12p p p ppp 10 12 11 12 22 p p p 0111222 2p 2p 01 11 12 22 12 22 2p 2p 1 12 22 31 p p 22 求解方程组 可得 11 12 1 p12 p 1 22 2 验证矩阵P的正定性 31 p p
10、 22 根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法 对11 12 1 p12 p22 1 2 31 3 22 0 det 0 1 2 1 2 1 2 矩阵P是正定的 故系统是渐近稳定的 系统的李雅普诺夫函数是 1 V x xTPx 2 3x2xx2x 22 1 12 2 dV dt xx x xT Ix 2 2 1 2 MATLAB函数 P lyap A B Q 求解矩阵方程 APPBQ AP PA Q T P lyap A Q 求解矩阵方程 作业 应用MATLAB函数求解李雅普诺夫方程 例确定增益K的范围 以使得系统是渐近稳定的 K x3 1 x2 1 x1 u s s 1 2 s 在工业应用中常常
11、需要根据工况 给出一些参数的在线调节范围 解首先给出系统的状态空间实现 x 010 x 0 1 1 x 0 21x 0u 2 2 x K 0 1x K 3 3 针对自治系统 考虑稳定性 解以下方程 0 x2 0 2x x 2 3 0 Kx x 1 3 可得原点是惟一的平衡状态 x x x 010 x 1 1 1 2 x 0 21x x 2 2xx 2 2 2 3 x K01x 3 3 x Kx x3 1 3 000 选取半正定矩阵 Q 000 001 沿系统任意轨线 T 2 dV x dtxQxx 3 上式不恒等于零 李雅普诺夫矩阵方程是 00 K ppp ppp 010 000 11 12
12、13 11 12 13 1 20ppp ppp 0 21 000 12 22 23 12 22 23 01 1ppp ppp K0 100 113 33 13 23 33 23 求解线性方程组 可得 K 12K 2 6K12 2K 0 12 2K 6K 3K K P 122K122K 122K K 6K 0 12 2K12 2K 矩阵P正定的充分必要条件是 K 1220 K 0 K 6时 系统在原点处是大范围渐近稳定的 当0 线性矩阵不等式处理方法 L xL L xL 0 一般表示式 0 11 NN L L L L 给定的对称正定矩阵 0 1 N x x L x 决策向量 分量为决策变量 T 1 N 矩阵的负定性 控制的特点 12 xx2 A X 1 AX XA 0 T 02 xx 2 3 22 0 3 00 x1 x x 0 2 3 04 20 34 失去了控制的意义 增加了存储空间
