1983-1990年威斯康星数学科学和工程天赋探索175道竞赛选拔题（含答案）

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1、目 录 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 01 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 参考答案 06 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1984 1985 15 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1984 1985 参考答案 20 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1985 1986 30 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1985 1986 参考答案 35 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1986 1987 45 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1986 1987 参考答案 50 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1987 1988 60 威斯康星数学科学和工程天赋探索

2、 1987 1988 参考答案 65 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1988 1989 75 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1988 1989 参考答案 80 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1989 1990 88 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1989 1990 参考答案 93 威斯康星数学科学与工程天赋探索威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 第第 I 组组 1 一只乌鸦从其巢飞出 飞向其巢北 10 里东 7 里的一点 在该点它发现有一个稻草人 所以就转向再向北 4 里东 5 里的地方飞去 在那里它吃了一些谷物后立即返巢 乌鸦所飞的途径构成了一个三角形 因为假设乌鸦

3、总是沿直线飞行的 试求这个三角形的面积 2 求分数 a b 其中 a 和 b 都是正整数 使得 5 9 a b 4 7 且 b 要尽可能地小 检验答案 3 四个城市 A B C 和 D 位于一个 30 里 40 里的矩形的角上 它们由一个笔直的公路组成的网络相联 如图所示 一运输公司希望派出一辆卡车沿一条路线传送货物 此路线可以使其从任一城市到达任意另外的城 市 能达到这个目的的最短路线有多长 证明答案 4 在一张大纸的一角印有一个小矩形 我们希望把这张纸的一角切下去以去掉矩形 且我们想用直尺沿某条直 线 AB 把此角切下 证明切下去的纸的面积至少有矩形的两倍 并指明切法 5 在五位数中有多少

4、数至少有两位的数字相等 其中有多少数能被 10 整除 阐述你是如何得到答案的 1 第第 II 组组 1 在从 1984 年 1 月 1 日开始往后的 7000000 年这一阶段内 将有 84000000 个月 而每个月的 13 日将一周 七天中的一天 所以 似乎看来在这个阶段内将有 1 7 84000000 12000000 个星期五是 13 日 如果假定在这 段时间内年历不变 那么在 7000000 年内刚好有 12000000 个星期五是 13 日这个断言对不对 检验答案 2 一个多边形称为是凸的 如果其所有内角都 n 且 x 和 y 互素的条件下证明所有数 1 xy 的和为 1 例如 当

5、 n 4 时 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 3 4 1 4 1 1 4 3 1 5 威斯康星数学科学与工程天赋探索 参考答案 威斯康星数学科学与工程天赋探索 参考答案 1983 1984 第第 I 组组 1 一只乌鸦从其巢飞出 飞向其巢北 10 里东 7 里的一点 在该点它发现有一个稻草人 所以就转向再向北 4 里东 5 里的地方飞去 在那里它吃了一些谷物后立即返巢 乌鸦所飞的途径构成了一个三角形 因为假设乌鸦 总是沿直线飞行的 试求这个三角形的面积 解解乌鸦吃东西的地方 C 点在其巢东 12 里北 14 里的地方 设 X 为巢正北 14 里的一个点 所以 NXC 是一个直角三角形

6、面积为 1 2 14 12 84 平方里 由 84 平方里减去 XCS 和 XNS 的面积就可求得 NSC 的面积 当然 S 就是稻草人所在的地方 如果我们取 XC 12 里作为 XCS 的底 则此三角形的高是 4 里 所以其面积为 24 平方里 类似地取 XN 14 里为 XNS 的底 则高为 7 里 其面积为 49 平方里 因此推得 NSC 的面积为 84 24 49 11 平方里 2 求分数 a b 其中 a 和 b 都是正整数 使得 5 9 a b 4 7 且 b 要尽可能地小 检验答案 解解答案是 9 16 且可用 尝试法 进行检验 首先 我们有 5b 9a 又既然 a 和 b 都是

7、正整数 我们有 5b 1 9a 还有 7a 4b 因而 7a 4b 1 现在我们有 9 4b 1 63a 7 5b 1 这祥便有 36b 9 35b 7 即 b 16 若取 b 16 不等式就变成 9a 81 和 7a 63 所以 a 9 因而 9 16 满足要求 且不再存在分母更小的分 数 也不再存在以 16 为分母的其它分数满足要求 3 四个城市 A B C 和 D 位于一个 30 里 40 里的矩形的角上 它们由一个笔直的公路组成的网络相联 如图所示 一运输公司希望派出一辆卡车沿一条路线传送货物 此路线可以使其从任一城市到达任意另外的城 市 能达到这个目的的最短路线有多长 证明答案 6

8、解解假定我们有一路线满足条件 当然卡车必需去每个城市至少一次 事实上 不去二次的城市至多只有一 个 如果有两个这样的城市在它们之间可以只需沿单向送货 由此推出卡车必须至少停七次 起点和终点算在 内 所以它必须走至少六段路 因为可以从 A 送货到 B 整个路程的某一段在地图上从左向右穿过 所以其长度 40 里 类似地至少有一段路程从右到左 而它的长也是 40 里长 我们知道整个路程至少有六段 而且其中二段之和至少长达 80 里 当然 其余每一段 其中至少四段 至少 有 30 里 所以整个行程必 2 40 4 30 200 里 这里有一个满足要求的 200 里的线路 ADCBCDA 我们已证明 再

9、没有更短的了 4 在一张大纸的一角印有一个小矩形 我们希望把这张纸的一角切下去以去掉矩形 且我们想用直尺沿某条直 线 AB 把此角切下 证明切下去的纸的面积至少有矩形的两倍 并指明切法 证明证明在原矩形上面和旁边各作一个矩形 使每一个都全等于原矩形 如图所示 过 P 作一线段 AB 且切下纸的该角 如果 A 点位于 U 下面 如图示 则 X 必位于 V 之上 因 AQP 和 XRP 是全等的 由此推出 B 位于 V 的右边 在这种情况下 因为 AQP 和 XRP 的面积相等 因此 ABC 的面积等于矩形 QRV C 和 XV B 的 面积之和 所以 ABC 的面积比原矩形面积的二倍多出 XV

10、B 的面积 类似有 如果 A 位于 U 上面 则 B 位于 V 的左边 而在这种情况下 将有 Y UA 没有表示出来 其面积 就是 ABC 的面积比原矩形两倍多出来的量 最后 若 A U 则 X V 和 B 重合 在这种情况 ABC 的面积刚好是原矩形的两倍 故这是最好的可能 5 在五位数中有多少数至少有两位的数字相等 其中有多少数能被 10 整除 阐述你是如何得到答案的 解解让我们数一下五位数 abcde 中没有两位数字相等的有多少 对于 a 有九种可能 因为如果 a 为零 则该数实际上不是五位数 一旦 a 选定 对于 b 来说存在九种可能 它可以是不与 a 相同的任何数字 现在我们有了 a

11、 和 b 对 c 来说就有八种可能 类似地 对于 d 就有七种可能而 e 有六种 所以总的可能数为 9 9 8 7 6 27216 总共有 90000 个五位数 这些是构成 10000 到 9999 的数 由此推得有 90000 27216 62784 个五位数有 两位的数字相等 被 10 整除的五位数中有多少个数的各位数字都不相同 我们必须保证 e 0 a 仍有九种可能 但 b 只有八 种 c 有七种 d 有六种 因为这几个没有一个能再是零 这就得 9 8 7 6 3024 个数能被 10 整除且没有重复的数字 刚好有 9000 个五位数能被 10 整除 因 而有重复数字的且能被 10 整除

12、的五位数共有 9000 3024 5976 个 7 第第 II 组组 1 在从 1984 年 1 月 1 日开始往后的 7000000 年这一阶段内 将有 84000000 个月 而每个月的 13 日将一周 七天中的一天 所以 似乎看来在这个阶段内将有 1 7 84000000 12000000 个星期五是 13 日 如果假定在这 段时间内年历不变 那么在 7000000 年内刚好有 12000000 个星期五是 13 日这个断言对不对 检验答案 解解想象把 7000 000 年这一阶段分成 7000 000 400 17500 个区间 每个区间 400 年 假设第一个区间内 刚好有 N 个星

13、期五是 13 日 我们将证明每 400 年的区间段内有同样 N 个星期五是 13 日 所以在 7000 000 这 段时间内的总数为 17500N 个星期五是 13 号 这不可能等于 12000 000 因为 17500 不能整除 12000 000 所以 结论是不对的 在 400 年内 有 97 年是闰年 除能被 100 但不能被 400 整除的年外 每四年一次 所以 400 年内包含了 97 个 2 月 29 日 而有 400 365 个其它日子 总数为 146097 天 因为 146097 20871 7 这是总的周数 所以 2384 年 1 月 1 日与 1984 年 1 月 1 日在

14、一周中的排序是一 样的 即 1984 年 1 月 1 日是星期几 2385 年 1 月 1 日也为星期几 由此 1984 年 1 月的日历的页数与 2384 年 1 月的日历的页数是一样的 而且事实上 第二个 400 年内的日历与第一个四百年是每个月都一样的 例如 2004 年 2 月 29 日与 2404 年 2 月 29 日在一周中的排序是同一天 所以在 7000 000 年的第二个 以及接下去的每一 个 400 年阶段内 都有 N 个星期五是 13 日 2 一个多边形称为是凸的 如果其所有内角都 an 而在这种情况下 an 2 an 1 an 因而 an 3 an 1 an 1 an a

15、n 这样 an 2 an 3 an 1 因为我们必须有 an an 1 an 2 an 3 这就得 an an 1 an 1 我们得到 an 0 所以 an 0 在这种情况下我们也证明了结论 4 两个缓步行走者 沿围绕旗杆的两个同心圆跑道行走 旗杆刚好在两个圆的中心 沿外跑道走的人五分钟走 完一圈而沿内跑道走的人三分钟走完一圈 行走者从 A 点和 B 点开始 如图所示 他们与旗杆在一直线上 然 后他们反向前行 那么到他们下次与旗杆在一直线上需多少时间 如果他们同向而行 那么答案又是多少 解解沿内跑道走的人 3 分钟转过 360 圆弧 所以他每分钟移动了 120 另一方面沿外跑道走的人每分钟移动

16、 72 注意 这并不是说沿外跑道走的人走的慢 由图可以清楚的看出 当他们两人在他们之间转过了 360 时 将与旗杆在一直线上 我们解 120t 72t 360 t 15 8 分 如果他们同向而行 当内圈人比外圈人多走了 360 时 他们将再一次与旗杆在一直线上 这就给出了方程 120t 72t 360 t 15 2 分 8 5 我们定义一个三角形的 部分周长 为其两短边的长度之和 在面积为 1 的三角形中 部分周长的最小可能 是多少 解解直角边长为 2 的等腰直角三角形的面积为 1 而其部分周长为 2 2 现假定 ABC 的面积为 1 且其两短边 BC 和 AC 的长度分别为 a 和 b 我们需要证明 a b 2 2 设 h 为 AC 上的高的长度 故 h a 这是因为从一点到一直线的最短距离是垂直距离 我们有 1 2hb S ABC 1 所以 hb 2 另外还有 a b 2 h b 2 h2 2hb b2 h2 2hb b2 4hb h b 2 4hb 4hb 8 因而 a b 8 2 2 如所希望的 第第 III 组组 1 一个尺寸为 2 寸 4 寸 6 寸的正六面体的体积为 48