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1、 第七章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动目录上页下页返回结束 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 机动目录上页下页返回结束 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 机动目录上页下页返回结束 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称它为空间曲线的参数方程 例如 圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 称为螺距 机动目录上页下页返回结束 例1 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二
2、方程变形为 故所求为 得所求为 机动目录上页下页返回结束 例2 求空间曲线 绕z轴旋转 时的旋转曲面方程 解 点M1绕z轴旋转 转过角度 后到点 则 机动目录上页下页返回结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 例如 直线 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t和 得旋转曲面方程为 机动目录上页下页返回结束 绕z轴旋转所得旋转曲面 即球面 方程为 又如 xoz面上的半圆周 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 形如 机动目录上页下页返回结束 三 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox
3、面上的投影曲线方程 机动目录上页下页返回结束 例如 在xoy面上的投影曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 又如 所围的立体在xoy面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 机动目录上页下页返回结束 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 如 圆柱螺线 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P324题1 2 7 展示空间图形 P324题1 2 1 答案 机动目录上页下页返回结束 3 机动目录上页下页返回结束 P324题2 1 机动目录上页下页返回结束 思考 交线情况如何 交线情况如何 P324题2
4、2 机动目录上页下页返回结束 P325题7 机动目录上页下页返回结束 P3243 4 5 6 8 作业 第五节目录上页下页返回结束 备用题 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 平面及其方程 第七章 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 机动目录上页
5、下页返回结束 例1 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 机动目录上页下页返回结束 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 过三点 的平面方程为 说明 机动目录上页下页返回结束 特别 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 分析 利用三点式 按第一行展开得 即 机动目录上页下页返回结束 二 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 机动目录上页下页返回结束 特殊情形 当D
6、 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 Cz D 0表示 Ax D 0表示 By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 平行于zox面的平面 机动目录上页下页返回结束 例2 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 P327例4 自己练习 机动目录上页下页返回结束 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面
7、2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 特别有下列结论 机动目录上页下页返回结束 因此有 例4 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 机动目录上页下页返回结束 外一点 求 例5 设 解 设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d 则P0到平面的距离为 点到平面的距离公式 机动目录上页下页返回结束 例6 解 设球心为 求内切于平面x y z 1与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限 且 因此所求球面方程为 四
8、面体的球面方程 从而 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 三点式 机动目录上页下页返回结束 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P330题4 5 8 第六节目录上页下页返回结束 作业P3302 6 7 9 备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 机动目录上页下页返回结束 第六节 一 空间直线方程 二 线面间的位置关系 机动目录上页下页返回结束 空间直线及其方程 第七章 一 空间直线方程 因此其一般式方程 1 一般
9、式方程 直线可视为两平面交线 不唯一 机动目录上页下页返回结束 2 对称式方程 故有 说明 某些分母为零时 其分子也理解为零 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程 也称为点向式方程 直线方程为 已知直线上一点 例如 当 和它的方向向量 机动目录上页下页返回结束 3 参数式方程 设 得参数式方程 机动目录上页下页返回结束 例1 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 机动目录上页下页返回结束 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 机动目录上页下
10、页返回结束 二 线面间的位置关系 1 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角 通常取锐角 的方向向量分别为 机动目录上页下页返回结束 特别有 机动目录上页下页返回结束 例2 求以下两直线的夹角 解 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 参考P332例2 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动目录上页下页返回结束 当直线与平面垂直时 规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 2 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 机动目录上页下页返回结束 特别有 解 取已知平面的法
11、向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例3 求过点 1 2 4 且与平面 机动目录上页下页返回结束 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 机动目录上页下页返回结束 直线 2 线与线的关系 直线 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 平面 L L 夹角公式 3 面与线间的关系 直线L 机动目录上页下页返回结束 作业P3353 4 5 7 9 P335题2 10 习题课目录上页下页返回结束 思考与练习 解 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1利用叉积 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题 机动目
12、录上页下页返回结束 设所求直线与 的交点为 待求直线的方向向量 方法2利用所求直线与L2的交点 即 故所求直线方程为 则有 机动目录上页下页返回结束 代入上式 得 由点法式得所求直线方程 而 机动目录上页下页返回结束 习题课 一 内容小结 二 实例分析 机动目录上页下页返回结束 空间解析几何 第七章 一 内容小结 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1 空间直线与平面的方程 机动目录上页下页返回结束 为直线的方向向量 空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点 机动目录上页下页返回结束 面与面的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 2 线面之间的相互关系 机动目录上页下页返回结束
13、直线 线与线的关系 直线 垂直 平行 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 平面 垂直 平行 夹角公式 面与线间的关系 直线 机动目录上页下页返回结束 3 相关的几个问题 1 过直线 的平面束 方程 机动目录上页下页返回结束 2 点 的距离为 到平面 Ax By Cz D 0 机动目录上页下页返回结束 到直线 的距离 为 3 点 机动目录上页下页返回结束 二 实例分析 例1 求与两平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线 提示 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 平行 且过点 3 2 5 的直线方程 机动目录上页下页返回结束 例2 求直线 与平面 的交点 提示 化直线方程为参数方程
14、代入平面方程得 从而确定交点为 1 2 2 机动目录上页下页返回结束 例3 求过点 2 1 3 且与直线 垂直相交的直线方程 提示 先求二直线交点P 化已知直线方程为参数方程 代入 式 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 过已知点且垂直于已知直线 机动目录上页下页返回结束 例4 求直线 在平面 上的投影直线方程 提示 过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直 从而得投影直线方程 机动目录上页下页返回结束 例5 设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦 提示 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量
15、取所求平面的法向量 机动目录上页下页返回结束 所求为 例6 求过直线L 且与平面 夹成 角的平面方程 提示 过直线L的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 从而得所求平面方程 机动目录上页下页返回结束 思路 先求交点 例7 求过点 且与两直线 都相交的直线L 提示 的方程化为参数方程 设L与它们的交点分别为 再写直线方程 机动目录上页下页返回结束 三点共线 机动目录上页下页返回结束 例8 直线 绕z轴旋转一周 求此旋转 转曲面的方程 提示 在L上任取一点 旋转轨迹上任一点 则有 得旋转曲面方程 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P338题21画出下列各曲面所围图形 P338题21 1 机动目录上页下页返回结束 解答 P33821 2 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 P33821 4 作业P33611 13 15P33815 16 17 18
