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1、专题 求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域- 1 -四、求函数值域（最值）的常用方法- 1 -4.1.直接法- 1 -4.2配方法- 2 -4.3换元法- 3 -4.4基本不等式法- 4 -4.5函数的单调性（导数）法- 6 -4.6数形结合法- 7 -4.7函数的有界性法- 9 -4.8分离常数法- 10 -4.8 三角函数中的值域问题- 11 -五、高考真题汇编- 12 -三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.2、常见函数的值域：一
2、次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例：求函数，的值域。 例：求函数的值域。 例 求函数的值域。 解析：， 故 所求函数的值域为 。练习1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 3、求函数的值域。4、（2013重庆理）的最大值为( )A.9 B. C. D.【答案】B 4.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.
3、例1：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。例2：求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，所以，的值域为.4.3换元法利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例1.求下列一元二次函数的值域： 解析：例例：求函数的值域：.解：设则.所以原函数可化为，所以.所以原函数的值域为.练习 （1） 求函数的值域。 （2） 求函数的值域。答案（1）令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。（2）令，则，（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为
4、：4.4基本不等式法 利用求某些函数值域（或最值），应满足三个条件;为定值；取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例1 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 例2 求函数的值域. 分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出项来, 可运用的方法是（1） 待定系数法：设: , 将左边展开是,故而, . 解得, .从而原函数; （2） 换元法：设，则原式化为接下类怎么办？因为的符号不确定，因此需要分类讨论：)当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当. )当时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当. 综上, 原函数的值域为:
5、 . 例：求函数的值域：. 解：，则原函数化为 ，当且仅当时，即时等号成立，所以元函数的值域为.（2012年上海春）函数的最大值是_.4.5函数的单调性（导数）法 利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例求函数在区间上的值域。分析与解答：，所以该函数在此区间上单调递增于是：函数在区间上的值域为。例： 求函数在内的值域.分析:. 由得的极值点为. . . 所以, 函数的值域为. 例4. 求下列函数的最值：（1）已知函数f(x)=x33x29xa, 且f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2
6、）求函数在0，2上的最大值和最小值.解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用. 只不过，（1）偏重文科考的题型，（2）偏重于理科考的形式.(1) 对原函数求导得：3x26x9令=0，解得x=1，或x=3（舍）， 因为f(1)=5+ a ，f(2)81218a=2a， f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2) f(1)因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(1)=5+ a7， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7 (2) 对原函数求导得：
7、令 化简为 解得又因为，所以为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值.总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这种方法不仅易掌握，而且运算速度较快，不容易出错.因为如果只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习 求函数的值域.答案：对原函数求导，得令解得 ，或（舍）又因为所以当时，的值域为.4.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例1：求函数的值域。解：
8、，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为更简单的方法是：该函数的几何意义是，动点到定点（-3,0），（5,0）的距离之和，从图上易见最小值是8例2：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3如例4求函数的值域。分析与解答：令，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；
9、当直线与圆相切时，。所以：值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。练习求函数的值域： 解： 函数的值域为：.4.7函数的有界性法分式型的含或的函数，常用此法，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.例：求函数
10、的值域。 例4：求函数的值域。 4.8分离常数法 分离常数法往往用于解决分子分母都含变量的分式函数问题，设函数，包括两种方法：（1）经过恒等变形，使变形为只在分子或分母中含有变量的形式，如；（2）将变形为形式的函数，这两种处理的结果，往往会使新函数的性态（如单调性、奇偶性等）比较容易判断.例：求函数的值域。解：，函数的值域为。例、求函数 的值域解：则，设 ， 例 求函数的值域解：，由，得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，函数的最小值是.例 设，若对任意实数，都存在以为边的三角形，则实数的取值范围是（ ）. . . .以上都不对解：第一次分离常数将函数变形为，令，再次分离常数得，易知，下
11、面分类讨论：（1） 当时，若构成三角形的三边，则有，即，得.（2） 当时，则由得综上可知实数的取值范围是，选使用分离常数法往往要对分子（分母）进行配凑，要构造出含有分母（分子）的形式，这需要较强的代数变形能力，降低难度的一个策略是用换元法，如例1，可设，则原函数改写为.4.8 三角函数中的值域问题利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型. 这种题型可以是直接求一个基本的三角函数在自变量取一切实数或限制在某一个范围内的值域（最值），也可以是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），当然也可以是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值
12、）.例3. 求下列三角函数的值域：解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目. (1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只不过（1）中自变量取一切实数，（2）中自变量限制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后可以化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型. 总结：这种题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：.然后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而根据基本的三角函数的图像得函数值的范围.如果没有限制自变量的范围，则易得练习3. 求下列三角函数的最值：（1）函数
13、的最大值为 ；（2）函数在区间上的最小值为 ；（3） 求函数2的最值（4）已知向量（I）若求 （II）求的最大值.参考答案：（1）； （2） 1； （3） （4）.五、高考真题汇编较容易的基础题：1. 函数的最大值为（ ）A1 B C D22. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A1BCD23. 函数的最小值等于（ ）A3B2 C1D4. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）5. 在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 .6. 函数的最大值是_.7. 函数的最大值等于 . 8. 函数的最小值是 .9. 已知在ABC中，ACB=90，BC=3，
