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1、2019 年全国卷文科数学真题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A = *x|x 1+,B = *x|x 2+,则A B =（）A. (1 , +)B. ( , 2)C. (1 , 2)D. 2.设z = i（2 + i），则z =（）A. 1 + 2iB. 1 + 2iC. 1 2iD. 1 2i3.已知向量 = （2 , 3）， = （3 , 2），则| | =（）A. 2B. 2C. 52D. 504. 生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机抽出3 只
2、，则恰有2 只测量过该指标的概率为（）A. 23B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到 低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6. 设f(x)为奇函数，且当x 0时，f(x) = ex 1，则当x 0）两个相邻的极值点，则 =（）44A. 2B. 32C. 1D. 129.若抛物线y2 = 2px（p 0）的焦点是椭圆x2 + y2 = 1的一个焦点，则p =（）3pp
3、A. 2B. 3C. 4D. 810.曲线y = 2sinx + cosx在点( ， 1)处的切线方程为（）A. x y 1 = 0B. 2x y 2 1 = 0C. 2x + y 2 + 1 = 0D. x + y + 1 = 011. 已知 (0 ， )，,2sin2 = cos2 + 1，则sin =（）2A. 15B. 25C. 33D. 25512. 设F为双曲线C： x2 y2 = 1（a 0，b 0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为a2b2直径的圆与圆x2 + y2 = a2交于P , Q两点。若|PQ| = |OF|,则C 的离心率为（）A. 2B. 3C. 2D. 5二、填空
4、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2x + 3y 6 013. 若变量x ，y满足约束条件x + y 3 0 y 2 0，则z = 3x y的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99， 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA + acosB = 0，则B= 16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方
5、体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信得印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是棱数为48 的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且次正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17.（12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， 点
6、E在棱AA1上，BE EC1.（1）证明：BE 平面 EB1C1；（2）若AE = A1E , AB = 3,求四棱锥E BB1C1C 的体积.18.（12 分）已知*an+是各项均为正数的等比数列，a1 = 2，a3 = 2a2 + 16.（1）求*an+的通项公式；（2）设bn = log2an，求数列*bn+的前 n 项和. 19.（12 分）Y 的分组,0.20，0),0，0.20),0.20，0.40),0.40，0.60),0.60，0.80)企业数22453147某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产
7、值增长率 y 的频数分布表.（1） 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到 0.01）附：74 8.60220.（12 分）已知F, F 是椭圆C： x2 + y2 = 1（a b 0）的两个焦点，P 为 C 上的点，O12为坐标原点。a2b2（1） 若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；（2） 如果存在点 P，使得PF1 PF2,且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.21.（12 分）已知函数f(x) = (x 1)lnx
8、 x 1.证明：（1）f(x)存在唯一的极值点；（2）f(x) = 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M（0，0）（0 0）在曲线C： = 4sin 上， 直线l过点A（4,0）且与 OM 垂直，垂足为 P.3（1）当0 = 时，求0及l的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知f(x) = |x a|x + |x 2|（x a）.（1）当 a=1 时，求不等式f(x) 0的解集；（2）若x （ ，1）时，f(x) 0，求 a 的取值范围.
