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1、3平面机构的运动分析 3 1概述 3 3平面机构运动分析的解析法 3 2平面机构运动分析的图解法 介绍求解构件运动规律的图解法与解析法 重点掌握利用瞬心法图解构件的速度 运用相对运动原理图解构件的速度和加速度 对复数向量及基本杆组分析等解析法有所了解 提要 Chapter3KinematicAnalysisofPlanarMechanisms 3 1概述 机构的运动分析 就是根据具有确定运动机构的运动简图及给定的原动件运动规律 求该机构中指定构件上点的位移 轨迹 速度和加速度 或其余构件的角位移 角速度和角加速度 1 曲柄摇杆机构 2 曲柄滑块机构图3 1F01基本机构 1 2 下面简要展示两
2、个基本机构的运动情况 1 曲柄摇杆机构与三维动画 1 曲柄摇杆机构与二维动画 2 曲柄滑块机构与二维动画 图3 1F02两个基本机构1 2 由于平面机构的广泛应用 所以本章仅研究平面机构的运动分析 的特点是把机构中已知的尺寸参数和运动参数与未知的运动变量之间的关系用数学式表达出来 然后求解 解析法 中介绍常用的速度瞬心法和相对运动法 图解法 3 2平面机构运动分析的图解法 图3 2F01所示的两构件1 2均作平面运动 在任一瞬时的相对运动都可以看作是绕平面上某一点的相对转动 而该点则称为它们的速度瞬心 简称为瞬心 以P12表示 1 速度瞬心及其求法 图3 2F01两个构件瞬心的位置 3 2 1
3、速度瞬心法 瞬心是两构件上相对速度为零的点 或者说是两构件上速度相等的点 若在该瞬心的绝对速度为零 则称为绝对瞬心 若不为零 则称为相对瞬心 由于每两个构件具有一个瞬心 所以对于由N个构件组成的机构 根据排列组合的知识可知 其瞬心总数K为 K N N 1 2 3 1 K 6 6 1 2 15 3 1 对于例图 瞬心数目K为 转摆变换的平面六杆机构的二维动画 图3 2F02一种平面六杆机构 b 以移动副相连的两构件 如图3 1b所示 由于在平面任一点处两构件相对运动的速度方向均平行于移动副导路 所以 P12一定位于无穷远 a 以转动副相连的两构件 如图3 1a所示 其瞬心在转动副的中心上 图3
4、1运动副瞬心的位置 1 通过运动副直接相连的两构件的瞬心位置 c 以平面高副相连的两构件 如图3 1c所示 若高副两元素之间为纯滚动 12为相对滚动的角速度 则两元素的接触点M即为瞬心P12 c 纯滚动高副 图3 1运动副瞬心的位置 d 若高副两元素间既有相对滚动 又有相对滑动 V12为相对滑动速度 则瞬心P12必定位于高副过接触点的公法线n n上 如图3 1d所示 具体位置需要根据其他条件来确定 图3 1运动副瞬心的位置 2 不直接通过运动副相连的两构件的瞬心位置 所谓三心定理是指三个彼此作平面相对运动的构件的三个瞬心必定位于同一直线上 现证明如下 不直接通过运动副相连接的两构件的瞬心位置由
5、三心定理予以确定 图3 2瞬心的位置与三心定理 2 速度瞬心的应用 解 P24是相对速度瞬心 即是构件2 4上具有同一速度的重合点 所以有 1 铰链四杆机构 如图3 3所示 比例尺为 l 单位为m mm 的铰链四杆机构 若已知原动件2以角速度 2顺时针方向回转 求从动件4的角速度 4 根据瞬心P24的速度方向可知 构件4的旋转方向为顺时针 图3 3铰链四杆机构 P24 P13 则有 2P12P24 l 4P14P24 l P14 P34 P23 P12 4 2P12P24 P14P24 3 2 2 曲柄滑块机构 如图3 4所示 比例尺为 l的曲柄滑块机构 若已知原动件2的角速度为 2 求图示位
6、置时从动件4的移动速度V4 图3 4曲柄滑块机构 解 如图求得构件2 4的相对瞬心P24后 由于P24为该两构件速度相等的点 从而有构件4的运动方向即瞬心P24的速度方向 水平向左 V4 VP24 2P12P24 l 3 正弦机构 如图3 5所示 比例尺为 L的正弦机构 若已知原动件1的角速度为 1 求图示位置时从动件3的移动速度V3 图3 5正弦机构 解 如图求得构件1 3的相对瞬心P13后 由于P13为该两构件速度相等的点 从而有构件3的运动方向即瞬心P13的速度方向 垂直向上 V3 VP13 1P14P13 L 4 凸轮机构 解 如图过高副元素的接触点K作其公法线n n 则此公法线n n
7、与瞬心连线P12P13的交点即为构件2与3的相对瞬心P23 由于构件2 3在P23速度相等 从而有 若已知原动件2的角速度为 2 求图示位置时从动件3的移动速度V3 构件3的运动方向即瞬心P23的速度方向 垂直向上 V3 VP23 2P12P23 l 3 2 2相对运动图解法 已知曲柄1的角速度 1和角加速度 1 求图示位置时连杆2的角速度 2 角加速度 2及其上点C和E的速度和加速度 以及构件3的角速度 3和角加速度 3 1 同一构件上两点间的速度和加速度求解法 图3 7铰链四杆机构 图3 7 a 所示为铰链四杆机构 比例尺为 L VC vpc 方向 p c VCB vbc 方向 b c V
8、C VB VCB 3 7 方向 CD AB CB大小 lAB 1 1 确定构件的速度和角速度 p b c b1 图3 7铰链四杆机构 方向 CD CE AB BE 大小 vpc 1lAB 当点C的速度VC求得后 根据速度的合成原理可求得点E的速度VE VE VC VEC VB VEB p b c e b 图3 7铰链四杆机构 同理可得构件3的角速度 3为 连杆2的角速度 2大小为 2 VCB lCB vbc lCB 3 VC lCD vpc lCD p b c e b 图3 7铰链四杆机构 2 确定构件的加速度和角加速度 anC atC anB atB anCB atCB方向 C D CDB
9、A ABC B CB 3 8 大小 V2C lCD lAB 21lAB 1V2CB lCB 根据相对运动的合成原理得加速度方程为 p c b c c c1 图3 7铰链四杆机构 方向 p bE B EBp c E C EC 大小 ap b 22lBE ap c 22lCE aE aB anEB atEB aC anEC atEC 连杆上E点的加速度aE为 e e e c c 图3 7铰链四杆机构 同理 连杆2上E点相对于B C两点的加速度大小为 连杆2上B C两点之间的加速度大小为 aCB aEB aEC lCB lEB lEC c b e b e c 由此导出 图3 7铰链四杆机构 这表明同
10、一构件上各点所构成的多边形 相似于加速度图中同名矢量端点所构成的多边形 且两多边形顶点字母顺序的绕行方向一致 因此 称图形b c e 为构件图形BCE的加速度影像 e e e c 图3 7铰链四杆机构 杆2 3角加速度 2 3分别为 图3 7铰链四杆机构 铰链四杆机构的速度与加速度分析的作图全过程如下 p b c e P e c b b c e c e c b 图3 7曲柄摇杆机构与二维动画 2 两构件上重合点间的速度和加速度求法 a 图3 8曲柄导杆机构 图3 8 a 为曲柄导杆机构 比例尺为 L 已知导杆1的角速度 1 求图示位置时连杆2的角速度 2 角加速度 2 以及构件3的角速度 3和
11、角加速度 3 VC3 VC2 VC1 VC2C1 方向 CD CA AB 3 9 大小 1lAC p c1 c3 b 1 速度分析 图3 8曲柄导杆机构 2 加速度分析 而C2 C3为转动副重合点 则有 构件2上C2点加速度aC2为 上述两式联立后得 aC2 aC1 akC2C1 arC2C1 anC3D atC3D方向 VC2C1沿 1转过90 ABC D CD 3 10 大小 2 1VC2C1 V2C2 lCD p c 1 k c 3 c 3 c 图3 8曲柄导杆机构 两构件上重合点间的速度与加速度求法全过程 p c1 c3 p c 1 k c 3 c 3 c b 图3 8曲柄导杆机构 二
12、维动画 3 3平面机构运动分析的解析法 本节以铰链四杆机构为例 介绍复数向量法 3 3 1机构运动分析的复数向量法 平面连杆机构运动分析的解析法较多 如基本杆组法 矩阵法 复数向量法 杆长约束法等 本章仅介绍复数向量法 以平面六杆机构为例 进一步展示复数向量法的应用 在图3 9所示的铰链四杆机构中 已知杆长分别为l1 l2 l3 l4 原动件1的正向转角及正向角速度分别为 1 1 图3 9铰链四杆机构 求解 连杆2与摇杆3的角位移 2 3 角速度 2 3以及角加速度 2 3 1 铰链四杆机构的复数向量法分析 将铰链四杆机构ABCD看作一向量封闭多边形 如图3 9所示 则该机构的向量封闭方程式为
13、 1 求角位移 方程的实部和虚部应分别相等 即 将上式展开得 消去以上两式中的 2得 2 arctan B l3sin 3 A l3cos 3 3 15 构件2的角位移 2为 将半角公式代入上式得到关于tan 0 5 3 的一元二次方程式 并解得 3为 3 2arctan B A2 B2 C2 1 2 A C 3 14 2 求角速度 将位置方程对时间求1阶导数得速度方程为 将式 3 16 乘以得 按欧拉公式展开上式 取实部后得杆3的角速度 3为 同理可得连杆2的角速度 2为 求出的角速度为正时表示逆时针方向 为负时表示顺时针方向 将位置方程对时间求2阶导数得速度方程为 将式 3 19 两边乘以
14、得 按欧拉公式展开上式 取实部后得摇杆3的角加速度 3为 同理可得 2为 角加速度的正 负值表明角速度的变化趋势 角加速度与角速度同号时表示加速 反之则表示减速 2 RRPRRPP六杆机构的复数向量法分析 图3 14RRPRRPP六杆机构二维动画 在图3 3F01所示的机构中 设杆1为主动件 杆5为从动件 杆3的摆角为 杆3的折角为 0 5 2 杆5的位移为S5 行程为H5为H5 r3 1 cos 令S1表示杆3上O3A的长度 由杆1 2 3和6组成的导杆机构的位置方程及其解 S1分别为 对位置方程求关于 的1阶导数 得类速度方程以及类速度VL23 L3分别为 对速度方程求关于 的1阶导数 得
15、类加速度aL23 L3分别为 对加速度方程求关于 的1阶导数 得类加速度的一次变化率qL23 jL3分别为 对加速度方程求关于 的2阶导数 得类加速度的二次变化率q L23 j L3分别为 在杆3 4 5和6组成的机构中 从动件5的位移S5以及滑块4相对于杆5的位移S45分别为 S5 r3 r3sin S45 r3cos VL5 dS5 d r3cos VL45 dS45 d r3sin 从动件5的类速度VL5 dS5 d 滑块4相对于杆5的类速度VL45 dS45 d 分别为 从动件5的类加速度aL5 d2S5 d 2 滑块4相对于杆5的类加速度aL45 d2S45 d 2分别为 d2S5
16、d 2 r3sin d2S45 d 2 r3cos 从动件5的类加速度的一次变化率qL5 d3S5 d 3 滑块4相对于杆5的类加速度的一次变化率qL45 d3S45 d 3分别为 d3S5 d 3 r3cos d3S45 d 3 r3sin 从动件5的类加速度的二次变化率q L5 d4S5 d 4 滑块4相对于杆5的类加速度的二次变化率j L45 d4S45 d 4分别为 q L5 d4S5 d 4 r3sin j L45 d4S45 d 4 r3cos 从动件5的速度V5 加速度a5 加速度的一次变化率q5和加速度的二次变化率q 5分别为 从动件5的速度V5 加速度a5 加速度的一次变化率q5和加速度的二次变化率q 5分别为 3 3 2平面机构运动分析的基本杆组分析法 由平面机构的组成原理可知 任何机构可以看作是由若干个基本杆组依次连接于原动件和机架上而构成的 由于基本杆组的自由度为零 所以若给定其外接副的位置 速度 加速度 则该基本杆组内接副的位置 速度 加速度就随之确定 由于绝大多数机构都是由 级杆组构成的 故这里仅介绍 级杆组的运动分析 另外 下面这些运动分析公式可编写成子程
