线性系统理论讲义第一章1：输入-输出描述

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1、第一章线性系统的基本概念 线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象出的线性模型系统 常可用框图来形象地表示一个系统 它既有输入信号 例如电压 也有输出信号 例如位移 从这个框图已经可以看出 一个系统在激励下的响应事实上完全是由系统自身的结构确定的 因此 对系统的描述就成为一切控制系统分析和综合的出发点 描述一个简单的系统可能并不困难 例如 考虑如下的R C电路 则根据物理定律可立即写出它的数学模型 一旦掌握了其数学模型 事实上就掌握了系统在任意输入下的响应 从这个简单的例子 我们至少可以看出如下几点 为了设计一个性能优良的控制系统 必须了解被控对象的运动规律 即系统在一定的内外条件下产生的运动

2、对于物理系统 内外条件与运动之间存在着固定的因果关系 可用数学形式表示出来 这就是数学模型 控制系统中需要处理的物理现象往往是电 磁 光 热传导及刚体 弹性体 流体的运动等 这些物理量的运动规律大多可用微分方程 偏微分方程 和代数方程来描述 3 对于许多实际的工业控制系统 由于构成复杂和未知因素的影响 利用物理定律来建模有时并不现实 在工业控制系统中 对系统的数学描述常用的方法有两种 输入 输出描述和状态空间描述 输入 输出描述的是系统的外部特性 在工程上简便易行 得到广泛应用 状态空间描述包括了系统的内外部特性 是一种全面的描述方法 由于获得了系统的全面信息 故可设计出性能良好的系统 但在许

3、多情况下 得到系统的状态空间描述是困难的 总之 两种描述方法各有其优缺点 如何应用应视具体研究对象而定 1 1系统的输入 输出描述 一 输入 输出描述 系统的输入 输出描述是建立在这样的基础上的 我们不知道系统的内部结构信息 唯一可测量的量是系统的输入和输出信号 此时我们可以将系统视为一个 黑箱 我们能做的 只是通过向该黑箱施加各种类型的输入并测量与之相应的输出 然后从这些输入 输出对中得出系统的重要特性 于是可以引入多变量和单变量系统的定义 定义1 1当且仅当p q 1时 系统称为单变量系统 否则称为多变量系统 例如 我们在经典控制论中就主要讨论的是单变量系统 而且 直观地看 多变量系统的分

4、析和 在以上系统框图中 我们看到 一个系统可能有多个输入和多个输出 一般地 我们可用向量来表示系统的输入和输出 设计应较单变量系统来得困难 但事实上 无论是多变量系统还是单变量系统 其分析和控制律设计的复杂程度主要取决于我们对该系统的了解 例如 即使是如下的单变量系统 若对其参数一无所知 它的控制律设计就会复杂得多 而稳定性的分析事实上是无法进行的 二 初始松弛的概念 考察简单的一阶系统 容易得到其解 显然 若其初始条件不能确定 则由输入u就不能唯一地确定其输出 从工程应用的角度 由于u一般是控制量 这意味着此时我们无法知道输出中哪些部分是由控制引起的 哪些是由初始条件 储能 引起的 也就是说

5、 难以知道控制u对系统的影响 对于一个任意的物理系统 假定其在处的储能为零 或者说 在处于松弛状态或静止状态总是合理的 这样就引入了初始松弛的概念 在经典传递函数描述中 我们总假定系统的初始条件为零 这样 就可以由输入唯一地确定输出 从能量的角度看 yc 0 表示从到t 0这个时间段内系统的储能 其中 H是某一算子 通过它由系统的输入唯一地规定了系统的输出 式 1 1 也可用下面等价的写法表示 根据前面的分析 对于一个松弛系统 自然就有 y Hu 1 1 定义 称时松弛或静止的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统 一般地 表示一个定义在 t1 t2 上的函数 关于算子H 传递函数是最容易理解的

6、线性 算子 它将复数域上的信号映射成复数域中的信号 可记为 在实数域上 这样的算子H事实上是如下的卷积运算 在许多控制论的分支中 例如自适应控制等 这样的算子表达方式是常见的 三 线性1线性系统的定义 否则称为非线性系统 从工程应用的角度 1 3 还可以等价地写成 定义1 2一个松弛系统称为线性的 当且仅当对于任何输入和 以及任何实数 或复数 和 有 叠加原理 可加性 齐次性 讨论 满足叠加原理是一个系统是否为线性系统的唯一判别准则 叠加原理一般限制为有限项的和 如果不引入附加的假设 一般不能推广到无穷项的和 在下面的分析中将会看到 叠加原理将导致系统分析的简化 例 考虑Laplace变换 试

7、证明Laplace变换是一个线性系统 证明 显然 例 考虑如下微分方程决定的系统 证明这是一个线性系统 事实上 因为 则易于验证 例 考虑单变量系统 容易验证 该系统满足齐次性 但不满足可加性 因此 不是线性系统 2线性松弛系统的脉冲响应 首先我们引入 函数或脉冲函数的概念 脉动函数 Pulsefunction 其极限形式就是脉冲函数 Impulsefunction orDiracfunction 简称 函数 函数 在t1时刻产生的一个作用时间无限短 幅值无穷大 且满足 的信号 函数的重要性质 采样性 即对在t1连续的任何函数f t 有 用 t ti 近似表示信号 每一连续或分段连续的输入u

8、均可用一系列脉动函数来近似 如图所示 线性系统y Hu的脉冲响应函数 称为系统脉冲响应函数 它的物理意义是在时刻对松弛系统施加一个脉冲函数而得到的系统的输出 1 8 令当时 求和号变成了积分号 变成了 1 7 式成为 脉冲响应又可表示为下列双变量的函数 中的变量表示 函数加于系统的时刻 而第一个变量为观测输出的时刻 在不引起概念混乱的情况下 1 9 可以写成 其中 是观测时刻 利用式 1 9 1 可将 1 8 改写为 脉冲响应矩阵 若一个初始松弛的线性系统 具有p个输入端和q个输出端 则 1 10 式可相应地推广为 其中 这里 gij t 的物理意义是 只在第j个输入端于时刻 加脉冲信号 而其

9、它输入端不加信号 此时在第i个输出端于时刻t的响应 若系统在时刻t的输出不取决于t之后的输入 而只取决于时刻t和在t之前的输入则称系统具有因果性 任何实际的物理系统都是具有因果性的 通俗地说 任何实际物理过程 结果总不会在引起这种结果的的原因发生之前产生 即未来的输入 原因 对过去和现在的输出 结果 无影响 四 因果性 有因果性的松弛系统 其输入和输出的关系可以写成 即 t时刻的输出而只取决于t和在t之前的输入 具线性和因果性的松弛系统 必有 故具线性和因果性的松弛系统的输入 输出描述为 例 在数学上通常引入截断算子表示因果性 定义截断算子如下 如下图所示 试说明因果性可用截断算子来表示 即H

10、表示的系统是具有因果性的 系指如下的关系成立 未来的输入是零或非零对过去和现在的输出均无影响 T0时刻松弛系统的定义 五 t0时刻的松弛性 若已知系统在t0时松弛 则其输入 输出关系可以写成 进而 若系统为线性系统 则上式可表示为 特别 若系统还是因果系统 则有 例 考虑系统 其解为 例 考虑系统 其解为 例 若一个线性系统满足 则系统必定在t0时刻松弛 事实上 这就是t0时刻松弛的定义 例 考虑一个单位延迟系统 容易验证H一个线性算子 虽然可以有 但仅是系统必定在t0时刻松弛的充分条件 而不是必要条件 但若 则系统在t0时刻是松弛的 事实上 为了由唯一地确定 必须要知道的信息 u t y t

11、 显然 若未知 则 从而 不能唯一地被确定 t0时刻是松弛系统的判断 定理1 1由下式描述的系统 证明 必要性 若系统在t0时刻是松弛的 则输出当t t0时由 给出 显然 充分性 我们要证明 若 则系统在t0时刻是松弛的 事实上 由于 证完 定理1表明 若一个系统是线性系统 为了确定其是否在t0时刻松弛 无须知道系统t0时刻以前的历史 定理1 1虽然给出了判断t0时刻是否松弛的规则 但是在实用中想要从t0到 来观测输出并不现实 下面的推论将给出判断t0松弛的一个实用条件 则系统在t0松弛的一个充分条件是对于某个固定的正数 意味着 注 由于 只是一个固定的正数 故推论较定理1 1在工程意义上是可

12、以操作的 定理 若函数f在开区间D上解析 已知函数在D中任意小的非零区间上恒为零 则函数在D上恒为零 利用所谓解析开拓的方法可以证明 f t 称为在 a b 是解析的 若f t 在该区间上具有任意阶的连续导数 且对于 a b 中任一点t0 存在一个 使得对中所有t f t 可表示成t0处的泰劳级数 补充 实变量解析函数 例如 多项式 指数函数 正弦函数等均是实数域上的解析函数 注 需要注意的是实变量解析函数与复变量解析函数的区别 若f t 是一个复变函数 只要f t 具有一阶连续导数 则f t 必具有任意阶的连续导数 因而必定就是解析函数 但实变量解析函数则不同 即使一个实变量函数具有连续的一

13、阶导数 其二阶导数也不一定存在 即使存在也不一定连续 D 推论的证明 只要证明由意味着可以推出 就可以了 为此 令 则 再由解析开拓的原理知 由于 是一个常向量 则由M t 为解析函数的假设蕴涵y t 在也是解析的 又由假设 可推得 于是由 A 1 证完 推论1 1的结果之所以重要 是因为对于任何满足推论1 1条件的系统 其松弛性可以由任何非零时间区间上观测输出来确定 若在该区间内系统的输出为零 则系统在该时刻是松弛的 以后我们将证明凡可由有理传递函数阵或线性常系数微分方程描述的系统 是满足推论1 1的条件的 因此堆论1 1具有广泛的实用价值 例 设系统描述如下 其中A B均为适当维数的常量矩

14、阵 其解为 若x t0 0 即系统在t0时刻的储能为零 则系统是t0时刻初始松弛的 此时 六 时不变性 如果一个系统的特性不随时间而变化 则称系统是时不变的 确切地说 一个松弛的时不变线性系统具有这样的特性 输入信号延迟 秒 其响应也恰好延迟 秒 且波形不变 首先介绍位移算子Q 的概念 位移算子Q 的作用效果如图1 5所示 经Q 作用后的输出等于延迟了 秒的输入 输入和输出的波形一样 但输出延迟了 秒 1 位移算子和时不变系统的定义 用数学式子可表示为 即对任意的t 有 成立 见以下的示意图 定义1 4松弛系统称为时不变的 当且仅当对于任何输入u和任何实数 有 成立 否则称为时变的 这个定义恰

15、恰放映了一个松弛的时不变线性系统的特性 输入信号延迟 秒 其响应也恰好延迟 秒 例 试证 对于固定的 位移算子Q 是一个线性时不变系统 并求它的脉冲响应函数和传递函数 证明 Q 的线性显然 根据定义 只要证明对于任意的实数 都有 即可 事实上 故系统是一个线性时不变系统 脉冲响应函数 响应的传递函数为 2 时不变系统的脉冲响应函数对线性松弛系统 若又具有时不变性 这时的脉冲响应函数仅仅取决于加脉冲时刻 和观测时刻t之差 实际上 根据时不变性与线性有 这意味对于任何的t 都有 这是因为 根据时不变的特性 输入信号延迟 秒 其响应也恰好延迟 秒 上式左边说明 系统的脉冲作用时刻 观测时刻为t 而左

16、边等于右边表明 对时不变系统来说 其脉冲响应仅仅取决于观测时刻t与脉冲作用时刻 的差 为了方便起见 今后把记为 例 如下的松弛 因果 线性时不变系统 3 推广到多变量系统对于所有的t和 有 因而具线性 时不变性 在t0时刻松驰的因果系统 其输入一输出对满足 在时不变的情况下 不失一般性 总可以选零作为初始时刻t0 即t0 0是开始研究系统或开始向系统提供输入u的时刻 这时 1 19 式就变成下列卷积积分的形式 例 系统 是一个在零时刻松弛线的性时不变系统 事实上 微分方程的解为 由拉氏变换的卷积定理 可得 式中 是脉冲响应阵的拉氏变换 称为系统的传递函数阵 本教材中所讨论的传递函数阵 其元素都是s的有理函数 这样的传递函数阵称为有理函数矩阵 七 传递函数阵和它的极点多项式1 传递函数阵 对以下时不变系统进行拉氏变换 正则与严格正则 今后总假定G s 的每一个元都已经是既约形式 即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式 传递矩阵的零点和极点 推广经典控制原理中关于传递函数零点和极点的概念 可以定义有理传递函数阵的零点和极点 有理函数阵零点和极点的等价定义很多 这里采用G s