学年论文--极限的应用

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1、云南大学云南大学 数学与统计学院数学与统计学院 学年论文学年论文 论文题目 论文题目 极限的应用极限的应用 姓名姓名 杨君波杨君波 专业专业 数学与应用数学数学与应用数学 学号学号 2011191012120111910121 指指导导教教师师 曹春华曹春华 提交日期提交日期 20142014 年年 6 6 月月 1616 号号 目目 录录 论文总页数 论文总页数 2323 页页 引言引言 什么是极限什么是极限 1 一 一 极限在数学领域的运用极限在数学领域的运用 1 1 1 用极限定义导数用极限定义导数 1 2 2 用极限定义左导数 右导数用极限定义左导数 右导数 2 3 3 用极限证明函数

2、连续 用极限证明函数连续 4 4 4 用极限证明数列收敛用极限证明数列收敛 5 二 二 极限在物理学中的应用极限在物理学中的应用 6 1 1 用极限辅助求解瞬时速度用极限辅助求解瞬时速度 6 2 2 用极限辅助求解瞬时加速度用极限辅助求解瞬时加速度 9 3 用极限思想分析电学中的电路问题用极限思想分析电学中的电路问题 13 三三 极限在概率论中的应用 极限在概率论中的应用 14 1 1 极限在概率的连续性问题中的应用极限在概率的连续性问题中的应用 14 2 利用极限研究小概率事件利用极限研究小概率事件 16 4 4 极限在几何学中的应用极限在几何学中的应用 17 1 1 圆的周长圆的周长 18

3、 2 2 圆的面积圆的面积 19 5 极限在经济学中的应用极限在经济学中的应用 20 1 1 用极限求点弹性用极限求点弹性 20 2 2 极限在边际问题中应用极限在边际问题中应用 20 6 极限在化学中的应用极限在化学中的应用 21 1 1 化学中的极限思想化学中的极限思想 21 2 2 极限思想在化学中的应用实例极限思想在化学中的应用实例 21 0 极限的应用极限的应用 摘要摘要 极限的运用极其广泛 在我们工作 学习 生活的各个方面都或多 或少涉及到了极限的知识及其思想 特别在学习过程中 极限始终贯穿 着我们的诸多学科 时刻影响着我们 在诸多门学科里 极限常常作为 我们研究新知识的一个有力工

4、具 本论文主要就 极限的应用 展开论 述 并分门别类的剖析极限在各个领域里的重大贡献 关键词关键词 极限 导数 函数 数列 收敛 加速度 速度 电路 概率 圆 周长 面积 相对分子量 化学元素 什么是极限 什么是极限 极限表达的是一种趋势 例如举一个变量 此变量从 1 开始取 接着变为 再变为 再然后依次变为 就按照这样的规律 1 2 1 3 1 1 1 4 5 6 1 n 一直无限变化下去 很显然这样下去是无止境的 但是此变化存在一种趋势 此趋势就是在变化过程中越来越小且趋近于 0 称这种情形下变量所趋近的 0 就是变量的极限 可简单记为 1 0 lim nn 注意 极限所说的是无限接近 永

5、远不可能达到 或者说是永远不可能相 等 极限在各领域中都有其用途 下面就从各门学科中涉及极限运用的问题进 行解读 一 极限在数学领域的运用一 极限在数学领域的运用 1 用极限定义导数 用极限定义导数 存在函数 此函数在其中一点附近有定义 给自变量一个改变 yf x 0 x 量不妨设为 相应的函数也随之产生了一个该变量 要 x yf xxf x 是极限存在的话 此极限值的大小叫作函数 00 limlim xx yf xxf x xx 在处的导数 也被叫做微商 简单记作 通过极限在数学里 yf x 0 x 0 fx 引入了函数求导 从定义可知 导数由值决定 若要用 表示 的可导范围 那 0 fx

6、0 xD f x 么对于 中的每一个值 都唯一确定 且唯一 表示的仍然是关于 D 0 x 0 fx fx 自变量 的函数 称为 的导函数 x f x 1 0 0 y limlim x x f xxf x xD xx yfx 在上述函数导函数定义式中 涉及坐标轴两个方向上的变化量 对应的 0 x 函数值点是 增加变化量后对应的是点 0 x 0 f x xx f xx 将两点相连接便构成了函数图像上的一段割线 当时相当与自 yf x 0 x 变量变化量无限小 则点 与点 就无限 x 0 x 0 f x xx f xx 接近 几乎重合 利用极限思想 此时过这两点的割线就可近似看作是过 的一条切线 再

7、考虑式子中的 0 x 0 f x 00 limlim xx yf xxf x xx 表示过点 与点 割线的斜率大小 当 y x 0 x 0 f x xx f xx 时割线近似成了过 的切线 式子 0 x 0 x 0 f x 也就成了函数 在点 处的切 00 y limlim xx f xxf x xx yf x 0 x 0 f x 线斜率大小 由上述性质在数学中引入了导数的几何意义 函数的导数 yf x 表示曲线在点的切线的斜率 0 yfx yf x 0 x 2 用极限定义左导数 右导数 用极限定义左导数 右导数 如果函数在点 可导 右导数定义作 f xx 0 lim x f xxf x x

8、其中表示的是变化量从大于 0 的地方无限趋近于 0 0 x x 如果函数在点可导 左导数定义作 f x x 0 lim x f xxf x x 其中表示的是变化量从小于 0 的地方无限趋近于 0 0 x x 例例 1 1 用定义求抛物线 的导函数 2 231yxx 2 求抛物线上过点 1 2 处的切线方程 2 231yxx 2 3 求抛物线过点 2 1 处的法线方程 2 231yxx 解 1 0 22 0 2 0 lim 2 3 1 231 lim 42 3 lim 43 x x x f xxf x fx x xxxxxx x x xxx x x 2 因为 由导函数的几何意义得到此抛物线在点

9、1 43fxx 2 处切线的斜率为 k 1 2 1 4 1 3 1 kfx f 由点斜式可得切线方程 21 1 3 yx yx 即 3 同上题 过点 2 1 的切线斜率 k 2 1 2 4 2 3 5 kfx f 则过该点的法线的斜率 k 1 1 5 1 5 k k 3 由点斜式可得到过点 2 1 的法线方程 1 1 2 5 1 7 5 yx yx 即 3 用极限证明函数连续 用极限证明函数连续 例例 证明 若有函数在点处是连续的 则和也在处连续 x f 0 x x f 2 x f 0 x 证明证明 因为在连续 则有 x f 0 xx 0 0 x x lim xx ff 因而 000 22 0

10、00 x x x x x x limlimlim xxxxxx ffffff 故有 0 22 0 x x lim xx ff 则也在处连续得证 2 x f 0 x 因为在连续 则有 又因为 则 x f 0 xx 0 0 x x lim xx ff 2 x x ff 故有 00 22 00 x x x x limlim xxxx ffff 0 0 x x lim xx ff 则也在处连续得证 x f 0 x 4 用极限证明数列收敛 用极限证明数列收敛 对于任意给定的数列 是实数 如果任意给定的 总存在一个正整 n x a0 数 N 当时 都有 成立 称数列收敛 即 nN n xa n x 4 l

11、im n n xa 例例 对于数列构造数集 n x k A 1 knkk Ax nkxx 记证明数列收敛的充要条件是 sup knmnkmk diamAxxxA xA n x 0 lim k diamAk 证明证明 充分性 假设 那么对于当时 有 0 lim k k diamA 0 0 N kN k diamA 即 sup nmnkmk xxxA xA 故而有则由柯西收敛原理得数列收敛得证 nm xx n x 必要性 假设数列是收敛的 则对于当时 有 n x 0 0 N m nkN nm xx 此时 从而 nkmk xA xA sup nmk nm xxA xx 因此 0sup lim nmk

12、 nm k xxA xx 即 0 lim k k diamA 故数列收敛的充要条件是得证 n x 0 lim k k diamA 二 极限在物理学中的应用二 极限在物理学中的应用 在物理学中多处运用到极限知识 直接运用极限的最常见的是用极限思想推导 出运动学中的瞬时速率和瞬时加速度 1 用极限辅助求解瞬时速度 用极限辅助求解瞬时速度 速度可以简单地认为是单位时间内物体位移的变化量 记起始位置作 起 s t 始时刻作 经过的时间后物体位置为 此时平均速率 tt s tt 5 如果我们对此式子取极限 即 s tts t v t 00 limlim tt s tts t v t 当 两个不同时刻间的

13、间隙就会很小 我们可近似将两个时刻看成一个 0t 时刻 那么此时平均速率取极限后就能近似的来表示时刻 的瞬时速度 t 例例 有一个小球置于一斜面上 由上而下滚动 其运动的方程为 要求 2 42stt 计算出小球在时刻的瞬时速度 1t 解解 首先对时间段进行划分成 和 1 0 1 1 1 0 1 01 1 0 1 001 1 0 1 0001 0 9 1 00 99 1 00 999 1 00 9999 1 0 利用平均速率公式 分别解出各时间段的平均速率 可得到如 s tts t v t 下表格 时间段 时间间隔 单位 s 平均速度 单位 m s 1 0 1 1 0 110 4 1 0 1 0

14、1 0 0110 04 1 0 1 001 0 00110 004 1 0 1 0001 0 000110 0004 0 9999 1 0 0 00019 9996 0 999 1 0 0 0019 996 0 99 1 0 0 019 96 0 9 1 0 0 19 6 可设任意一个很小的数 则在 内的小球平均速率 t 1 0 1 0t 6 1 01 0sts v t 22 4 1 0 2 1 0 4 12 1 tt t m s 104 t 如果取极限 当越来越接近于 0 时速率就无限接近于 10m s t 即 0 lim t v 0 1 01 0 lim t sts t 0 104 lim

15、 t t 10 得到时刻时的瞬时速率是 10m s 1 0t 例例 在自由落体中 物体下落的距离和时间 之间存在这样的关系 ht 2 1 2 hgt 起始速度是 0m s 是重力加速度 试求时的瞬时速度是多少 g 1t 解 解 我们首先考虑物体在 1s 到 s 之间的平均速度 记 分别为时刻 1 和时 t 1 s t s和 刻t 的位移量 注 22 2 s t 1 11 1 22 1 11 21 1 1 2 s v t t gtg t t g t g t 1t 不妨令 得 1 1t 1 1 1 2 1 2 vg 得 1 01t 1 1 01 2 01 2 vg 7 1 1 001 1 001

16、2 001 2 tvg 得 1 1 0001 1 0001 2 0001 2 tvg 得 当 越来越接近于 1 时 平均速度就越来越接近 即自由落体中物体在 时 tg1t 刻的速度 m s 1 gv 2 用极限辅助求解瞬时加速度 用极限辅助求解瞬时加速度 加速度描述的是物体运动速率变化的快慢 简单地认为是单位时间内某运 动物体运动速率的变化量 记起始速度作 起始时刻作 经过的时间后 v t tt 物体运动速率为 此时平均加速度 如果我们对此 v tt v ttv t a t 式子取极限 即 00 limlim tt v ttv t a t 当 两个不同时刻间的间隙就会很小 我们可近似将两个时刻看成 0t 一个时刻 那么此时平均加速度取极限后就能近似的来表示时刻 的瞬时加速度 t 例 例 有一曲线段 相对于坐标系是运动的 在 时刻位于 M 点沿 L 做相 LtLAB 对运动 在 时刻 M 点相对于 L 的运动速度是 在坐标系中的牵连速度是 tt v e v 经后 从位置运动到的位置 M 点此时运动到了 此时点相 t LABA B M M 对于 L 的运动速度是 在坐标系中的牵连速度是 点