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1、华中师范大学高等教育自学考试本科毕业生论文评审表论文题目：浅谈反证法准考证号： 姓 名：* 专业：数学教育 学生类型：独立本科段 (助学班/独立本科段)2011年 12 月 20日华中师范大学高等教育自学考试办公室印制论 文 内 容 摘 要摘 要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中
2、最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法 归谬法 矛盾 假设 Abstract: Of the many ways to prove in mathematics, there is a known as one of the most sophisticated weapons mathematicians indirect evidence method, this is required. It and general proof method is different, can divide again to be infallible exhaustion and
3、 their domains required two kinds. As long as the hold the main point, apagoge can make some not easy direct proof of the questions simple, easy card, it in mathematics card questions does surprise effect. This paper expounds the concept, steps required, basis and classification. How to make the red
4、uction to set and export contradictions, and when appropriate USES counter-evidence method, apagoge is the most commonly used in high school in the proof of the topic show, apagoge is comprehensive thought analysis. Key word: GuiMiuFa contradiction be hypothesis(本栏由论文作者填写)目 录1引言12反证法的定义及步骤22.1反证法的定义
5、22.2反证法的步骤23反证法的逻辑依据及分类33.1反证法的逻辑依据33.2反证法的分类34反证法如何正确的作出反设45反证法如何正确的导出矛盾76何时宜用反证法86.1基本命题，即学科中的起始性命题86.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断96.3有关唯一性的问题96.4命题结论是“至多”“至少”形式106.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象106.6某些起始命题116.7难证的逆命题116.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时117在中学数学中常用的反证法思想的题型分析127.1结论本身以否定形式出现的一类命题例127.2有关结论是以“至多”或“至少”的形
6、式出现的一类命题例127.3关于存在性、唯一性的命题例127.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例137.5无穷性命题138结论14参考文献161引言南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。1”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根
7、据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。这就是反证法的威力，一个原本复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。 2反证法的定义及步骤 2.1反证法的定义先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法2。2.2反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定
8、的题设中去。（2）归谬从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。（3）结论说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论3。例2.1.1已知：求证：直线和是异面直线。 证明：【提出假设】假设直线和在同一平面内，那么这个平面一定经过点和直线。 【推出矛盾】因为，经过点和直线 只能有一个平面 所以直线与应在平面内 所以,这与已知矛盾。 3反证法的逻辑依据及分类3.1反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的4。排中律常用公式排中律用公式表示为“A或者非A”，即“AA
9、”。意即真或真。其中和表示两个互相矛盾的概念或判断。排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。排中律是反证法的逻辑基础，当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明a不是有理数有困难时，只要证明a是有理数为
10、假就可以了。3.2反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。（1）若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。例3.2.1已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),所以于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。（2）
11、若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。4反证法如何正确的作出反设运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。 例4.1.1试证合适xy+yz+zx=1的实数x、y、z必不能满足x+y+z=xyz。分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很
12、难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x、y、z能满足方程xy+yz+zx=1但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x、y、z既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz。我们知道实数x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。例4.1.2已知： ，求证：。 分析：此题的结论有
13、两种情况，其否定只有一种情况2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情况，就能肯定的这种情况了。证明：假设2，则 = =由此可知：，这与已知矛盾。 例4.1.3已知：平面平面，直线，求证：与也相交。 分析：此题结论的否定有两种情况：1；2.用反证法证明时， 只有把这两种情况都否定了，才能 肯定与相交。总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。例如：1）结论：至少有一个S是P。错误假设：至少有两个或两个以上S是P,正确假设：没有一个S是P。例如；2）结论：最多有一个S是P。错误假设：最少有一个S是P。正确假设：至少有两个S是P。例如：3）结论：全部S都是P。错误假设：全部的S都不是P。正确假设：存在一个S不是P。现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词是不是存在不存在都是不都是至少有 n 个至
