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1、 环境系统分析动态规划 执教教师 XXX 二 动态规划从数学的观点来说 动态规划方法是一种分析多段决定过程的数学方法 即解决多阶段决策过程最优化的一种方法 如 河流与处理厂群的优化问题 约束条件为各段河流水质标准 目标函数为总处理费用最小 决策变量为各处理厂的处理效率 废水处理工艺 多段处理 的最优处理流程选择 动态规划方法尤其适用于离散问题 这是线性规划和其它非线性规划方法所不及的 且适用于具有序列结构系统的最优化 如河流 上游对下游水质有影响 下游却上游无影响 1 动态规划问题的特征 原始问题可分阶段 每个阶段可被赋给几种状态 如不同的水质 每个状态都对目标函数作出一份贡献 各段状态控制有
2、序列递推关系 即在某个阶段 只要作出一个决定 就使该过程由所处阶段的状态变成相联阶段的一种状态 如某处理厂的处理效率决定了后 则该河段的水质控制成为其上一河段流下来的水质控制问题 依一定顺序决定每一个阶段的最佳状态 最终可得原始问题的最优解 依据Bellman最优性原理 每个阶段的最优决策具有那样的性质 无论是什么起始状态和决定 余下的决定必须构成一个关于由起始决定所得到的状态的一个最优决策 无通用的解法必须针对具体问题建立动态规划数学模型 再按动态规划问题的特征来求解 2 动态规划模型的建立以一个水污染控制系统规划问题为例 1 问题 设一河段上有三个集中排放口 河流的基本状况如下图所示 三个
3、排放口由下游起往上游方向顺序编号 每个排放口均未治理 排放强度为q1l1 q2l2和q3l3 关于河流的数据Qin 流量 x1 x2 河段长度 u1 u2 流速 和k1 BOD5衰减速率常数 均已知 该河段为稳定流一维均匀河段 可以忽略弥散 在每个排放口断面处的关于BOD的水质标准已确定为L1s L2s L3s 现状由于排污不受限制 河流中的BOD已不符合标准 需要解决的问题是为了达到河流BOD标准的同时治理费用最低 决定各个排放口处要求的BOD去除率 i i 1 2 3 是多少 2 把问题抽象为一个动态规划数学模型 一般步骤如下 a 划分阶段在每个排放口处都要选择去除率 也即都要作出一个决定
4、 而且在排放口断面处的河水由于废水的排入使BOD浓度发生突变 因而选定每个排放口断面位置作为一个阶段 定义i为阶段变量 则对于本例有三个阶段 i 1 2 3 b 选定状态变量在本例中 每个阶段的决定 BOD去除率 都会影响河流中的BOD水平 河流把三个断面连贯起来 再加上已经确定了河流中的BOD标准 因此河水到达每个断面时的BOD浓度Li与当时要作的决定有直接关系 我们可以选择Li为状态变量 i 1 2 3 为了保证该断面达到标准 一旦作出对 i的决定 也就确定了上游来水应有的BOD浓度Li c 选定决定变量决定变量取决于要决定的事情 在这里最终是要决定每个排放口的去除率 所以就可以选 i为决
5、定变量 i 1 2 3 d 确定状态变换函数对于动态规划问题 必须是前一阶段的状态是它后一阶段的状态和决定变量的函数 在本例中从下游往上游排列阶段 而下游阶段 在动态规划问题中是前一阶段 的状态Li的确是上游阶段 在动态规划问题中是下一阶段 的状态Li 1和决定变量是 i 1的函数 若该河流可采用稳态S P模型来描述BOD的迁移变化 而且X1 X2足够大 因而可忽略排放口混合段 则每个阶段的状态有以下关系 e 建立目标函数据本例要求 应把费用函数作为目标函数 对于每个排放口断面可以认为该处的治理费用仅与该断面的决定变量 i有关 即Ci g i 当排水量和浓度不变时费用与去除率之间的关系可以是一
6、个幂函数的关系 Ci pi im 2 这里为简单起见 取m 2 即Ci pi i2 2 3 f 建立约束条件依据每个排放口断面处的BOD标准Lis和每个排放口断面处都是完全混合的假设 可写出每个排放口断面 即每个阶段 的约束条件 上式中仅 i是要决定的变量 可把上式变为 4 g 利用Bellmavn原理顺序作出最优决定 对于动态规划问题可以顺序作出最优决定 对于本例可从阶段1开始 对于阶段1 目标函数为 5 约束条件为 为了使式 5 取最小值 按照约束条件 6 的形式 显然应取 代入 5 式得 由于状态变量L1 f L2 2 而 2并未决定 L2也不知道 所以这时并不能算出 1和C 1的值 对
7、于阶段2 目标函数为 约束条件 把上一阶层的结果 7 和状态转换函数代入 9 10 之后 在这个阶段有两种可能的选择 一是取 另一种可能是取 求解之后得 2的表达式 仍有 3未知而使L2未知 对于阶段3 目标为 约束条件为 代入 1 2的表达式以及代入状态转换函数后同样有两种可能的解 取 Q2 Q3 q3 或令得 3 的表达式 16 至此 从式 5 至 16 为整个问题的动态规划数学模型 由于上游边界条件Qin和Lin可以给定 实际上 Q3 Qin L3 Lin 17 所以 把已知数据代入 15 与 16 即可解得 3的数值 再把 3和L 3的值代入 11 与 12 式 并利用 1 得到L2即
8、可解得 2 最后可利用 7 方程得 1 并计算得最优解下的费用函数值 三 水污染控制系统最优规划目标是协调系统内各组成部分之间的关系 以最低的水污染控制费用满足水环境质量要求 1 按污染物历程分类 污染源子系统污染物的收集 输送子系统污水处理子系统受纳水体子系统 2 按层次分类 流域规划 协调各污染源的关系 保证各河段和支流满足水质要求 总量控制 区域规划 将流域规划的结果 各段排放总量 分配给各个分污染源 并为此制订具体的方案 设施规划 按照区域规划的结果 提出既能满足污水处理效率又能使处理费用最低的污水处理设施 3 按方法分类 考虑处理效率和处理规模 排放口处理最优规划 水质规划 均匀处理
9、最优规划 污水处理的厂群规划 区域处理最优规划 上两规划的综合 排放口处理最优规划 以每个小区的污水排放口为基础 在水体水质条件的约束下 求解各排放口的污水处理效率的最佳组合 目标是各排放口的污水处理费用之和最低 此规划时 各个污水处理厂的处理规模不变 等于各小区收集的污水量 均匀处理最优规划 在区域范围内寻找最佳的污水处理厂的位置与规模的组合 在同一的污水处理效率的条件下 追求全区域的污水处理费用最低 可证明对任一小区 只有在全不处理 输送到别的小区 或全部处理时系统的总费用才取得极值 区域处理最优规划 前两规划的综合 处理规模 效率均变化寻优 既要寻求最佳的污水处理厂的位置和容量 处理规模
10、 又要寻求每座污水处理厂的最佳处理效率 既充分发挥污水处理系统的经济效能 又合理利用水体的自净能力 4 规划的依据a 水体的的自净能力 一种自然环境资源 利用它可降低污水处理费用 但必须与防止水体污染相协调平衡 b 污水处理与输送的规模经济效应 正效应 国内较普通使用的污水处理费有函数为 处理效率Q 处理规模C 处理费用K1 K2 K3 K4为参数当 为常数时 C aQk2a K1 K3 k4k2 0 7 0 8因为k2 1 所以处理单位污水的费用将随着处理规模的增大而下降 故大型污水处理厂 集中处理 经济效应更高 输水管道也存在类似的经济效应 随着输水量的增加 输送单位污水的费用下降 c 污水处理效率的经济效应 常为负效应 处理量不变 因为K4 0 所以处理单位污水所需的费用将随着污水处理效率的增加而增加 故规划时应首先致力于解决那些尚未处理的污水的治理 或者首先提高那些低水准处理的污水处理程度 然后再进行污水的更深度处理 以上三个方面在水污染控制系统中相互影响和制约 例 规模效应集中污水处理集中排放水质复杂不利于合理利用水体的自净能力必须提高处理效率 加大了处理难度 处理费用就会增加 谢谢观看 请指导
