《高考数学（理）必考热点新题精选练习：立体几何（小题）（附答案与详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）必考热点新题精选练习：立体几何（小题）（附答案与详解）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：立体几何（小题）考向1 空间几何体1.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.322.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.1B.3C.2D.233.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的京地景物略一书中才正式出现,如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为_.4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是1
2、20,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是_.考向2 直线与平面的位置关系1.若四面体的三视图如图所示,则以下判断中,正确的是()A.该四面体的所有对棱都互相垂直B.该四面体恰有三个面是直角三角形C.该四面体中,棱与面互相垂直的恰有两对D.该四面体中,面与面互相垂直的恰有四对2.已知直三棱柱C-11C1中,C=120,=2,C=CC1=1,则异面直线1与C1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.333.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.664.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角
3、三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号)5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,若E为棱PC上一点,满足BEAC,则PEEC=_.6.如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M、N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是_.考向3
4、球与几何体的切接问题1.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.18C.243D.5432.九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的体积为()A.823 B.6C.6 D.83.已知三棱锥P-ABC中,PA=4,AB=AC=23,BC=6,PA面ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.16B.32 C.64D.1284.已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为()A.6B.2 C.3D.2
5、5.已知圆锥的母线长为5,底面半径为4,则它的外接球的表面积为_.6.若三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,其余各棱长均为5,则三棱锥内切球的表面积为_.答案与解析考向1 空间几何体1.A根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体ABCD- A1B1C1D1中,平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的,且过棱的中点的正六边形,且边长为22,所以其面积为S=634222
6、=334.2.A在正ABC中,D为BC中点,则有AD=32AB=3,SDB1C1=1223=3.又因为平面BB1C1C平面ABC,ADBC,AD平面ABC,所以AD平面BB1C1C,即AD为三棱锥A-B1DC1底面上的高.所以V三棱锥A-B1DC1= 13SDB1C1AD=1333=1.3.【解析】由三视图知,该几何体是上部为圆锥,中部为圆柱体,下部为圆锥体的组合体,根据图中数据,计算该陀螺的表面积为S=12422+14+42-22+1284+16=85+42+16.答案:(85+42+16)4.【解析】因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以ABBCCC1=120,因为E为C
7、C1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=1312CDBCCE=1312ABBC12CC1=112120=10.答案:10考向2 直线与平面的位置关系1.C结合三视图,还原直观图,得到:图中O-ABC即为原图,A选项错误,如AB和OC不垂直;B选项四个面都是直角三角形,错误;C选项棱和面互相垂直的有AO与平面OCB,BC和平面ABO,故正确;D选项面面垂直的有2对,故错误.2.C如图所示,补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,则所求角为BC1D,因为BC1=2,BD=22+1-221cos6
8、0=3,C1D=AB1=5,所以cosBC1D=105.3.D取BC的中点H,连接EH,AH,EHA=90,设AB=2,则BH=HE=1,AH=5,所以AE=6,连接ED,ED=6,因为BCAD,所以异面直线AE与BC所成角即为EAD,在EAD中cosEAD=6+4-6226=66.4.【解析】由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,又AC圆锥底面,如图所示,可设DB=a,连接DE,则DEBD,可设DE=b,连接AD,在等腰ABD中,设AC=1,则AB=AD=2.当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=2,又在RtBDE中,BE=2,所以DE=2,过点B
9、作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,所以ABF为等边三角形,所以ABF=60,即AB与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足平面ABC直线a,直线AB与a所成的最大角为90,错误.正确的说法为.答案:5.【解析】过B作BFAC,交AC于F,连接EF,根据BEAC,可得AC平面BEF,故ACEF,由于PAAC,所以EFPA.由于AD=CD,所以DAC=BAC=4.在直角三角形ABF中,AB=1,BAF=4,所以AF=22AB=22,而AC=22,故AFFC=13.根据前面证得EFPA,可得PEEC=AFFC=13.答案:136.【解析】如图
10、,连接DN,取DN中点P,连接PM,PC,则可知PMC即为异面直线AN,CM所成角(或其补角),易得PM=12AN=2,PC=PN2+CN2=2+1=3,CM=AC2-AM2=22,所以cosPMC=8+2-32222=78,即异面直线AN,CM所成角的余弦值为78.答案:78考向3 球与几何体的切接问题1.B设等边三角形ABC的边长为x,则12x2sin 60=93,得x=6.设ABC的外接圆半径为r,则2r=6sin60,解得r=23,所以球心到ABC所在平面的距离d=42-(23)2=2,则点D到平面ABC的最大距离d1=d+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值Vmax=13SABC
11、6=13936=183.2.A根据几何体的三视图转换为几何体为:下底面为腰长为2的等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,故外接球的半径R满足(2R)2=(2)2+(2)2+22,解得:R=2,所以:V=43(2)3=823.3.C因为底面ABC中,AB=AC=23,BC=6,所以cosBAC=-12,所以sinBAC=32,所以ABC的外接圆半径r=12632=23,PA面ABC,所以三棱锥外接球的半径R2=r2+PA22=(23)2+22=16,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4R2=64.4.A如图,设正三棱柱底面边长为a,所以O2C2=33a,因为OC2=2,所以O2O=4-13a2.
12、所以A1A2=O1O2=2OO2=24-13a2,所以三棱锥侧面积为S=3a24-13a2=613a2(12-a2)63a2+12-a22=123.当且仅当a2=12-a2,a=6时取“=”号.5.【解析】如图,CB=5,BE=4,可得CE=52-42=3,取CB中点D,作DOCB交CE延长线于O,则O为ABC的外心,也即圆锥外接球的球心,设OE=x,则OC=3+x,OB=x2+16,所以(3+x)2=x2+16,得x=76,所以外接球半径R=3+76=256,所以圆锥外接球的表面积S=42562=6259.答案:62596.【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等,且每一个面的面积均为1264=12.设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积V=13SABCr4=16r,取CD的中点O,连接AO,BO,则CD平面AOB,所以AO=BO=4,SAOB=1267=37,所以VA-BCD=2VC-AOB=213373=67,所以16r=67,解得r=378.所以内切球的表面积为S=4r2=6316.答案:6316
