高考数学（理）必考热点新题精选练习：圆锥曲线（解答题）考向1 圆锥曲线中求值与证明问题1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,离心率为12,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程.(2)当△F2AB的面积为1227时,求直线的方程.2.如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.(1)求圆C的方程.(2)过点M任作一条直线与椭圆x28+y24=1相交于两点A,B,连接AN,BN,求证:∠ANM=∠BNM.考向2 圆锥曲线的最值与范围问题1.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点(2,-2).(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆上焦点的直线l与椭圆C分别交于点E,F,求的取值范围.2.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).老乡3 圆锥曲线中的定点与定值问题1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上一点,且△F1PF2的周长为4+23.(1)求椭圆C的方程.(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1≠x2,证明:直线MN过定点.2.已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积为-34.(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.考向4 圆锥曲线中的探究性问题1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(-2,1),离心率为22,直线l:kx-y+2=0与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)是否存在实数k,使得|+|=|-|(其中O为坐标原点)成立?若存在,求出实数k的值;若不存在,请说明理由.2.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,上、下顶点分别是B,C,|AB|=7,直线CF交线段AB于点D,且|BD|=2|DA|.(1)求E的标准方程.(2)是否存在直线l,使得l交E于M,N两点,且F恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.答案与解析考向1 圆锥曲线中求值与证明问题1.【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,所以1a2+94b2=1.①又因为离心率为12,所以ca=12,所以b2a2=34.②解①②得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线的倾斜角为π2时,不妨取A-1,32,B-1,-32,S△ABF2=12|AB||F1F2|=1232=3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时,设直线方程为y=k(x+1),代入x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,所以S△ABF2=12|y1-y2||F1F2|=|k|(x1+x2)2-4x1x2=|k|-8k24k2+32-44k2-124k2+3=12|k|k2+14k2+3=1227,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1k2=-1817舍去.所以k=1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.2.【解析】(1)设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心C的坐标为(2,r).因为|MN|=3,所以r2=322+22=254.所以r=52,圆C的方程为(x-2)2+y-522=254.(2)把x=0代入方程(x-2)2+y-522=254,解得y=1或y=4,即点M(0,1),N(0,4).①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0.②当AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.联立方程y=kx+1,x28+y24=1,消去y得,(1+2k2)x2+4kx-6=0.设直线AB交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2.所以kAN+kBN=y1-4x1+y2-4x2=kx1-3x1+kx2-3x2=2kx1x2-3(x1+x2)x1x2=1x1x2-12k1+2k2+12k1+2k2=0.所以∠ANM=∠BNM.综合①②知∠ANM=∠BNM.考向2 圆锥曲线的最值与范围问题1.【解析】(1)由椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距为4.得曲线C的焦点F1(0,-2),F2(0,2).又点(2,-2)在椭圆C上,2a=2+0+2+(2+2)2=42,所以a=22,b=2,即椭圆C的方程是y28+x24=1.(2)①若直线l垂直于x轴,则取点E(0,22),F(0,-22),=-8.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+2,点E(x1,y1),F(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆C的方程得到:(2+k2)x2+4kx-4=0,则x1+x2=-4k2+k2,x1x2=-42+k2,所以=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-4-4k22+k2+-8k22+k2+4=202+k2-8.因为0<202+k2≤10,所以-8<≤2.综上可知,的取值范围是[-8,2].2.【解析】(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-1mx+b.由x22+y2=1,y=-1mx+b消去y,得12+1m2x2-2bmx+b2-1=0.因为直线y=-1mx+b与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+4m2>0,①设线段AB的中点为M,将AB的中点M2mbm2+2,m2bm2+2代入直线方程y=mx+12,解得b=-m2+22m2,②由①②得m<-63或m>63.故m的取值范围是-∞,-63∪63,+∞.(2)令t=1m∈-62,0∪0,62,则t2∈0,32.则|AB|=2t2+1-2t2+32t2+1,且O到直线AB的距离为d=t2+12t2+1.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=12|AB|d=12-2t2-122+2≤22,当且仅当t2=12时,等号成立,此时满足t2∈0,32.故△AOB面积的最大值为22.老乡3 圆锥曲线中的定点与定值问题1.【解析】(1)根据椭圆的离心率为32及△F1PF2的周长为4+23,可得ca=32,2a+2c=4+23,c2=a2-b2解得a2=4,b2=1所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ny+m(n≠0).联立方程组x=ny+m,x2+4y2-4=0,整理得(n2+4)y2+2nmy+m2-4=0,所以y1+y2=-2mnn2+4,y1y2=m2-4n2+4.因为关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2的斜率之和为0,所以y1x1-4+y2x2-4=0,即y1ny1+m-4+y2ny2+m-4=0,所以2ny1y2+m(y1+y2)-4(y1+y2)=0,所以2n(m2-4)n2+4-2nm2n2+4+8nmn2+4=0,所以m=1,所以直线MN的方程为x=ny+1,所以直线MN过定点(1,0).2.【解析】(1)设C(x,y).由题意得kACkBC=yx+2yx-2=-34(y≠0).整理,得x24+y23=1(y≠0).故动点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).(2)易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组y=kx+m,x24+y23=1.消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=-8km3+4k2,所以x1=x2=-4km3+4k2.所以P-4km3+4k2,3m3+4k2,即P-4km,3m.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得-4km-t,3m(4-t,4k+m)=0.整理,得4km(t-1)+t2-4t+3=0.由km的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).考向4 圆锥曲线中的探究性问题1.【解析】(1)依题意,得2a2+1b2=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=2,c2=2,故椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)假设存在符合条件的实数k.依题意,联立方程y=kx+2,x2+2y2=4,消去y并整理,得(1+2k2)x2+8kx+4=0.则Δ=64k2-16(1+2k2)>0,即k>22或k<-22.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k1+2k2,x1x2=41+2k2.由|+|=|-|,得=0,所以x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0.所以4(1+k2)1+2k2-16k21+2k2+4=0,即8-4k21+2k2=0,所以k2=2,即k=2,满足(*)式.故存在实数k=2,使得|+|=|-|成立.2.【解析】(1)方法一:由题意知F(c,0),A(a,0),B(0,b),C(0,-b),所以直线AB的方程为xa+yb=1,直线CF的方程为xc-yb=1,由xa+yb=1,xc-yb=1得,xD=2aca+c.因为|BD|=2|DA|,所以=2,所以=23,得2aca+c=23a,解得a=2c,所以b=a2-c2=3c.因为|AB|=7,即a2+b2=7,所以7c=7,所以c=1,a=2,b=3,所以E的标准方程为x24+y23=1.方法二:如图,设E的左焦点为G,连接BG,由椭圆的对称性得BG∥CF,则|GF||FA|=|BD||DA|=2,即|GF|=2|FA|,由题意知F(c,0),则|GF|=2c,|FA|=a-c,所以2c=2(a-c),得a=2c,所以b=a2-c2=3c.因为|AB|=7,即a2+b2=7,即7c=7,所以c=1,a=2,b=3,所以E的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)知,E的方程为x24+y23=1,所以B(0,3),F(1,0),所以直线BF的斜率kBF=-3.假设存在直线l,使得F是△BMN的垂心,连接BF,并延长,连接MF,并延长,如图,则BF⊥MN,MF⊥BN,易知l的斜率存在,设为k,则kBFk=-1,所以k=33,设l的方程为y=33x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),。