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1、 . 北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1正切：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即;tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，常省去角的符号“”；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA的值越大。例 在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化2. 正弦：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即
2、;例 在中，若，则的周长为 3. 余弦：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;例 等腰三角形的底角为30，底边长为，则腰长为（ ）A4 B C2D4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。30 45 60 sincostan1例 ABC中，A，B均为锐角，且有，则ABC是（ ）A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形C等腰（不等边）三角形 D等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直
3、角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。7.在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：AB=90； (3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc为C边上的高); 例 在ABC中，C90，下列式子一定能成立的是（ ）ABCD8.解直角三角形的几种基本类型列表如下：例 中，C=90，AC=，A的角平分线交BC于D，且AD=， 则的值为 A、 B、 C、 D、例 已知，四边形ABCD中，ABC = ADB =，AB = 5，AD = 3，BC = ，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD. 9.如图
4、2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即例 一人乘雪橇沿坡度为1:的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为 A、 72米 B、36米 C、米 D、米 10.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。11.正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。图3图4图2hi=h:llABC第二章 二次函数1.二次函数的概念：
5、形如的函数，叫做x的二次函数。（1）自变量的取值范围是全体实数。 （2）是二次函数的特例，此时常数b=c=0.（3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。2.二次函数yax2的图象是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当a0时 B、当
6、a0时当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是03.二次函数的图象是一条顶点在y轴上且关于y轴对称的抛物线二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。4.二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）5.二次函数的图象与yax2的图象的关系：的图象可以由yax2的图象平移得到，其步骤如下： 将配方成的形式；（其中h=，k=）；把抛物线向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，则
7、当x时，y随x的增大而增大。若a0，则当x时，y随x的增大而减小。最值：若a0，则当x=时，；若a0 抛物线与x轴有2个交点； =0 抛物线与x轴有1个交点； 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；例 已知二次函数，且，则一定有（ ）A. B. C. D. 0例 已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是_.例 已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_.第三章 圆1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O” 集合性定义：圆是平面
8、内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.例 若A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置为（）A、在A内 B、在A上 C、在A外 D、不能确定例 若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（ ）A
9、 B C D3. 圆的对称性: （1）与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做
10、等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。（4）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.例 两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm.例 已知O的半径为2cm,弦AB长为cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A 1 B 2 C 3 D 4例 如图为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= cm.4. 圆周角和圆心角的关系:（1）弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心
