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1、章末复习 第一章 立体几何初步 学习目标 1 整合知识结构 梳理知识网络 进一步巩固 深化所学知识 2 熟练掌握平行关系与垂直关系 能自主解决一些实际问题 3 掌握几何体的三视图与直观图 能计算几何体的表面积与体积 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 名称定义图形侧面积体积 多 面 体 棱柱 有两个面 其余各面都是 并且每相邻两个四边形 的公共边都 S直棱柱侧 Ch C 为底面的周长 h 为高 V Sh 棱锥 有一个面是 其余各面都是 的三角形 S正棱锥侧 Ch C为底面的周长 h 为斜高 V Sh h为高 1 空间几何体的结构特征及其侧面积和体积 互相平行 四边形 互相平行 多
2、边形 公共顶点 有一个 多 面 体 棱台 用一个 的平面去截 棱锥 底面与截面 之间的部分 S正棱台侧 C C h C C 为底面的周 长 h 为斜高 V S上 S下 h h为高 旋 转 体 圆柱 以 所在 直线为旋转轴 其 余三边旋转形成的 面所围成的旋转体 S侧 2 rh r为底 面半径 h为高 V Sh r2h 锥底面 平行于棱 矩形的一边 旋 转 体 圆锥 以直角三角形的 所在直 线为旋转轴 其余 两边旋转形成的面 所围成的旋转体 S侧 rl r为底面半径 h为高 l为母线 V Sh r2h 圆台 用 的平面去截圆锥 之间的 部分 S侧 r1 r2 l r1 r2为底面半 径 l为母线
3、 V S上 S下 h h 一条直角边 平行于圆锥底面 底面和截面 旋 转 体 球 以 所 在直线为旋转轴 旋转一 周形成的旋转体 S球面 4 R2 R为球的半径 V R3 半圆的直径 半圆面 2 空间几何体的三视图与直观图 1 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的 图形 它包括主视图 左视图 俯视图三种 画图时要遵循 长对正 高平 齐 宽相等 的原则 注意三种视图的摆放顺序 在三视图中 分界 线和可见轮廓线都用实线画出 不可见轮廓线用虚线画出 熟记常见 几何体的三视图 画组合体的三视图时可先拆 后画 再检验 2 斜二测画法 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法 它的主
4、 要步骤 画轴 画平行于x y z轴的线段分别为平行于x y z 轴的线 段 截线段 平行于x z轴的线段的长度不变 平行于y轴的线段的长 度变为原来的一半 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式 两者之间可以互相转化 3 转化思想在本章应用较多 主要体现在以下几个方面 曲面化平面 如几何体的侧面展开 把曲线 折线 化为线段 等积变换 如三棱锥转移顶点等 复杂化简单 把不规则几何体通过分割 补体化为规则的几何体等 3 四个公理 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上所 有的点都在这个平面内 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么
5、它们有且只有 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 两点 不在同一条直线上 一条过该点的公共直线 平行 4 直线与直线的位置关系 共面直线 异面直线 不同在 一个平面内 没有公共点 平行 任何 相交 判定性质 定义定理 图形 条件 结论a b a a b 5 平行的判定与性质 1 直线与平面平行的判定与性质 a a b a b a a b a 2 面面平行的判定与性质 判定性质 定义定理 图形 条件 a 结论 a ba a b a b P a b a b 3 空间中的平行关系的内在联系 6 垂直的判定与性质 1 直线与平面垂直 任意 图形条件结论 判定 a b b b为 内的 直线 a a
6、m a n m n a a b b m n O a 性质 a a b a b b a b 2 平面与平面垂直的判定与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一 个平面的一条 那 么这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂 直于另一个平面 l 垂线 3 空间中的垂直关系的内在联系 7 空间角 1 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫作异面直线a b所成的角 或夹角 范围 设两异面直线所成角为 则 2 二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的 所
7、组成的图形叫作二面角 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 锐角 或直角 0 90 两个半平面 垂直于棱 1 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 若m n 则m n 2 已知a b是两异面直线 a b 点P a且P b 一定存在平面 使P a 且b 3 平面 平面 直线a 直线b 那么直线a与直线b的位置关系一 定是垂直 4 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 5 若m n在平面 内的射影依次是一个点和一条直线 且m n 则n 或 n 思考辨析 判断正误 题型探究 类型一 由三视图求几何体的表面积与体积
8、例1 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12 B 18 C 24 D 30 答案解析 解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形 由主视图和 左视图可以判断该几何体是由直三棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱 截取得 到的 在长方体中分析还原 如图 1 所示 故该几何体的直观图如图 2 所示 故几何体ABC PA1C1的体积为30 6 24 故选C 在图 1 中 反思与感悟 1 以三视图为载体的几何体的表面积问题 关键是分 析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 组合体的表面积问题要注 意衔接部分的处理 3 旋转体的表面积问题注意其侧面
9、展开图的应用 跟踪训练1 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案解析 解析 将三视图还原为直观图求体积 由三视图可知 此几何体 如图所示 是底面半径为1 类型二 平行问题 例2 如图所示 四边形ABCD是平行四边形 PB 平面ABCD MA PB PB 2MA 在线段PB上是否存在一点F 使平面AFC 平面 PMD 若存在 请确定点F的位置 若不存在 请说明理由 解答 解 当点F是PB的中点时 平面AFC 平面PMD 证明如下 如图连接AC和BD交于点O 连接FO 四边形ABCD是平行四边形 O是BD的中点 OF PD 又OF 平面PMD PD 平面PMD PF MA PF M
10、A 四边形AFPM是平行四边形 AF PM 又AF 平面PMD PM 平面PMD AF 平面PMD 又AF OF F AF 平面AFC OF 平面AFC 平面AFC 平面PMD 反思与感悟 1 证明线线平行的依据 平面几何法 常用的有三角形中位线 平行四边形对边平行 公理4 线面平行的性质定理 面面平行的性质定理 线面垂直的性质定理 2 证明线面平行的依据 定义 线面平行的判定定理 面面平行的性质 3 证明面面平行的依据 定义 面面平行的判定定理 线面垂直的性质 面面平行的传递 性 证明 跟踪训练2 如图所示 四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形 四 条侧棱长均为2 点G E F H分别
11、是棱PB AB CD PC上共面的 四点 平面GEFH 平面ABCD BC 平面GEFH 1 证明 GH EF 证明 因为BC 平面GEFH BC 平面PBC 且平面PBC 平面GEFH GH 所以GH BC 同理可证EF BC 因此GH EF 解答 2 若EB 2 求四边形GEFH的面积 解 连接AC BD交于点O BD交EF于点K 连接OP GK 因为PA PC O是AC的中点 所以PO AC 同理可得PO BD 又BD AC O 且AC BD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 又因为平面GEFH 平面ABCD 所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线 所以PO平行于这条垂线 且PO
12、 平面GEFH 所以PO 平面GEFH 又因为平面PBD 平面GEFH GK PO 平面PBD 所以PO GK 所以GK 平面ABCD 又EF 平面ABCD 所以GK EF 所以GK是梯形GEFH的高 由AB 8 EB 2 得EB AB KB DB 1 4 所以GK 3 类型三 垂直问题 例3 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 证明 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD AC CD PA AC A PA AC 平面PAC CD 平面PAC 而A
13、E 平面PAC CD AE 证明 2 PD 平面ABE 证明 证明 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C PC CD 平面PCD AE 平面PCD 而PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD AB 底面ABCD PA AB 又 AB AD且PA AD A PA AD 平面PAD AB 平面PAD 而PD 平面PAD AB PD 又 AB AE A AB AE 平面ABE PD 平面ABE 反思与感悟 1 两条异面直线相互垂直的证明方法 定义 线面垂直的性质 2 直线和平面垂直的证明方法 线面垂直的判定定理
14、 面面垂直的性质定理 3 平面和平面相互垂直的证明方法 定义 面面垂直的判定定理 证明 跟踪训练3 如图 斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是直角三角形 ACB 90 点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点 且BC CA AA1 1 求证 平面ACC1A1 平面B1C1CB 证明 设BC的中点为M 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M B1M 平面ABC AC 平面ABC B1M AC 又 BC AC B1M BC M B1M BC 平面B1C1CB AC 平面B1C1CB 又 AC 平面ACC1A1 平面ACC1A1 平面B1C1CB 证明 2 求证 BC1 AB1 证明 连接B1C A
15、C 平面B1C1CB AC BC1 在斜三棱柱ABC A1B1C1中 BC CC1 四边形B1C1CB是菱形 B1C BC1 又 B1C AC C BC1 平面ACB1 BC1 AB1 类型四 空间角问题 例4 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别是A1B1 BC C1D1和B1C1的中点 1 求证 平面MNF 平面ENF 证明 证明 连接MN N F均为所在棱的中点 NF 平面A1B1C1D1 而MN 平面A1B1C1D1 NF MN 又 M E均为所在棱的中点 C1MN和 B1NE均为等腰直角三角形 MNC1 B1NE 45 MNE 90 MN NE 又NE NF
16、 N MN 平面NEF 而MN 平面MNF 平面MNF 平面ENF 2 求二面角M EF N的正切值 解答 解 在平面NEF中 过点N作NG EF于点G 连接MG 由 1 知MN 平面NEF 又EF 平面NEF MN EF 又MN NG N EF 平面MNG EF MG MGN为二面角M EF N的平面角 设该正方体的棱长为2 反思与感悟 1 面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明 利用垂 直关系的相互转化是证明的基本方法 2 找二面角的平面角的方法有以下两种 作棱的垂面 过一个 平面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 证明 跟踪训练4 如图 在圆锥PO中 已知PO 底面 O PO O 的直径AB 2 C是 的中点 D为AC的中点 1 证明 平面POD 平面PAC 证明 连接OC PO 底面 O AC 底面 O AC PO OA OC D是AC的中点 AC OD 又 OD PO O AC 平面POD 又 AC 平面PAC 平面POD 平面PAC 解答 2 求二面角B PA C的余弦值 解 在平面POD内 过点O作OH PD于点H 由 1 知 平面POD 平面PAC 又平面POD
