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1、第六章 基本图形 二 第26课 圆的基本性质 基础知识 自主学习 1 主要概念 1 圆 平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫 做圆 叫圆心 叫半径 以O为圆心的圆记作 O 2 弧和弦 圆上任意两点间的部分叫 连结圆上任意两点 的线段叫 经过圆心的弦叫直径 直径是最长的 3 圆心角 顶点在 角的两边与圆相交的角叫圆心角 4 圆周角 顶点在 角的两边与圆相交的角叫圆周角 5 等弧 在 中 能够完全 的弧 要点梳理 定点定长 定点定长 弧 弦弦 圆心 圆上 同圆或等圆重合 2 圆的有关性质 1 圆的对称性 圆是 图形 其对称轴是 圆是 图形 对称中心是 旋转不变性 即圆绕着它的圆心旋转任意一个
2、角度 都能 与原来的图形重合 轴对称过圆心的任意一条直线 中心对称 圆心 2 垂径定理及推论 垂径定理 垂直于弦的直径 并且 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 并且 弦的垂直平分线 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦 所对的另一条弧 平分弦平分弦所对的两条弧 垂直于弦平分弦所对的两条弧 经过圆心 3 弦 弧 圆心角的关系定理及推论 弦 弧 圆心角的关系 在同圆或等圆中 相等的圆心 角所对的弧 所对的弦 推论 在同圆或等圆中 如果两个 中有一组量相等 那么它们所对应的 其余各组量都分别相等 相等相等 圆心角两条弧 两条弦两条弦心距 4 圆周角定理及推
3、论 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中相等的圆 周角所对的弧 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对 的弦是 一半 相等 直角 直径 5 点和圆的位置关系 设d为点P到圆心的距离 r为圆的半径 点P在圆上 点P在圆内 点P在圆外 d r dr 6 过三点的圆 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个圆 三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形的外心是 三边 的交点 这个三角形叫做这个圆的内接三角 形 中垂线 难点正本 疑点清源 1 确定一个圆的基本条件 把握圆的
4、定义 所谓 确定 包含两层意思 一是说明存在 二是说明唯一 确定一 个圆的基本条件有两个 一个是圆心 定点 一个是半径 定长 圆心 决定圆的位置 半径决定圆的大小 二者缺一不可 圆的定义有以下两种说法 一种说法 线段绕它的一个端点在平面上旋转时 另一个端点画出 的封闭曲线叫做圆 另一种说法 平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 前者从圆的产生刻画圆 称圆的产生定义 后者从圆的本质属性上 刻画它 称圆的内涵定义 集合 是指一切这样的点 因而可以利用它 判定一个点是否在已知圆上 从而建立了圆的内部 外部的概念 由于球面上任意封闭曲线 球面上的点都满足到定点 球心 的距离 等于定长的要求
5、所以 圆的定义中 平面上 这个要求是不可缺少的 同时 两种形式的定义都表明 圆 指的是 圆周 不包括被它围起 来的平面 2 应用圆的基本性质 垂径定理反映了圆的重要性质 是证明线段相等 角相等以 及垂直关系的重要依据 事实上 垂径定理及其推论也可以理解 为 对于一个圆和一条直线 给出下列五个条件 直线垂直于 弦 直线过圆心 直线平分弦 不是直径 直线平分弦所 对的优弧 直线平分弦所对的劣弧 如果具备其中两个 就能 推出其他三个 运用圆心角 弦 弧与弦心距之间的关系定理 可以证明同 圆或等圆中弧相等 角相等及线段相等 这个定理也可以理解为 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦所
6、 对的弦心距中 有一组量相等 那么所对应的其余各组量也分别 相等 由该定理又可得到 圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等 基础自测 1 2011 绍兴 如图 AB为 O的直径 点C在 O上 若 C 16 则 BOC的度数是 A 74 B 48 C 32 D 16 答案 C 解析 OA OC A C 16 BOC A C 32 答案 A 3 2011 德州 一个平面封闭图形内 含边界 任意两点距离的最大 值称为该图形的 直径 封闭图形的周长与直径之比称为图形 的 周率 下面四个平面图形 依次为正三角形 正方形 正六 边形 圆 的周率从左到右依次记为a1 a2 a3 a4 则下列关 系中正确的是
7、A a4 a2 a1 B a4 a3 a2 C a1 a2 a3 D a2 a3 a4 答案 B 4 2011 南充 在圆柱形油槽内装有一些油 截面如图 油 面宽AB为6分米 如果再注入一些油后 油面AB上升1分 米 油面宽变为8分米 则圆柱形油槽直径MN为 A 6分米 B 8分米 C 10分米 D 12分米 答案 C 答案 B 题型分类 深度剖析 例 1 2011 衡阳 如图 O的直径CD过弦EF的中点G EOD 40 则 FCD的度数为 题型一 圆心角与圆周角的关系 答案 20 探究提高 当图中出现同弧或等弧时 常常考虑到弧所对 的圆周角或圆心角 一条弧所对的圆周角等于该弧所 对的圆心角的
8、一半 通过求等的弧把角联系起来 知能迁移1 1 2011 重庆 如图 已知AB为 O的直径 CAB 30 则 D 答案 60 解析 AB是 O的直径 ACB 90 CAB 30 B 60 D B 60 2 2011 乐山 如图 CD是 O的弦 直径AB CD 若 BOC 40 则 ABD A 40 B 60 C 70 D 80 答案 C 题型二 圆内接四边形 例 2 一条弦的长度等于它所在的圆的半径 那么这条 弦所对的圆周角的度数是 答案 30 或150 探究提高 在很多没有给定图形的问题中 常常不能根据题 目的条件把图形确下来 因此会导致解的不唯一性 这种 题一题多解 必须分类讨论 本题中
9、弦所对的圆周角不 是唯一的 圆周角的顶点可能在优弧上 也可能在劣弧上 依据 圆内接四边形的对角互补 这两个角互补 知能迁移2 2012 威海 如图 AB为 O的直径 点C D在 O上 若 AOD 30 则 BCD的度数是 答案 105 题型三 圆的轴对称性 探究提高 连接OM ON 则OM AB ON CD OM ON分别是弦AB CD的弦心距 有弦常作弦心距 这是 一个常用的方法 知能迁移3 1 2011 上海 如图 AB AC都是圆O的弦 OM AB ON AC 垂足分别为M N 如果MN 3 那么BC 答案 6 题型四 建模思想 解决管道水位问题 例 4 某居民小区一处圆柱形的输水管道破
10、裂 维修人 员为更换管道 需确定管道圆形截面的半径 如图所示 是水平放置的破裂管道有水部分的截面 若这个输水管 道有水部分的水面宽AB 16 cm 水面最深地方的高度 为4 cm 求这个圆形截面的半径 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 探究提高 这是一道实际问题 关键是将其转化为数学问题 由于管道是圆形的 因此可以把水面宽度看作弦长 从 而利用垂径定理构造直角三角形 再利用勾股定理 方程 思想来求解 知能迁移4 在直径为400 mm的圆柱形油槽内 装入一部分 油 油面宽320 mm 求油的深度 解 如图 在Rt AOC中 AO 200 AC 160 OC 120 CD OD OC 200
11、 120 80 如图 在Rt AOC中 AO 200 AC 160 OC 120 CD OD OC 200 120 320 答 油的深度为80 mm或320 mm 图 图 易错警示 17 忽忘外心在形外 剖析 上述解法看上去好像思考周全 考虑了两种情况 其实又 错了 因为BC AB AC BC是不等边 ABC的最大边 所以 A 60 不正确 产生错误的根源是图画得不准确 忽视了圆 心的位置 实际上本题的圆心应在 ABC的外部 批阅笔记 提起三角形的外心 同学们容易画出图形 其 中O是 ABC的外心 即O是 ABC外接圆的圆心 其实 有些问题中三角形的外心并不在三角形的内部 而在 外部 因此 解
12、答圆内接三角形问题时 要注意对圆心 进行探讨 特别是未明确圆心位置时 不要随意解答 思想方法 感悟提高 方法技巧 1 注意在同圆或等圆中 弦与弧等量关系的互相转 化 2 补全圆面的关键在于确定圆心 确定圆心时 主 要根据圆的定义 取弧上的两条弦 作出两条弦的垂直平 分线 交点即为圆心 失误与防范 1 在很多没有给定图形的题目中 常常不能根据题目的条件 把图形确定下来 因此会导致解的不唯一性 对于这种多解题 我们必须要分类讨论 分类时要注意标准一致 不重不漏 圆周 角所对的弦是唯一的 但是弦所对的圆周角不是唯一的 注意 同 弧所对的圆周角相等 说法是正确的 换成 同弦所对的圆周角相 等 说法就不正确了 2 对垂径定理的理解 同学们在学习时 往往把定理所需要 的条件遗漏 如易漏掉垂直于弦的直径 或者垂直 而这两个条 件必须同时具备 完成考点跟踪训练26
