傅里叶光学期末复习

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1、傅里叶光学总结 x f x 01 x 0 x 1 0 其它 f x 求 f 2x 4 解 f 2x 4 f 2 x 2 包含折叠 缩放 平移 x f x 0 1 先折叠 x f 2x 0 1 2 再缩放 x 0 f 2 x 2 3 2 最后平移 cos x x 2 0 其它 求 f x 2 4 练习 f x 常用函数 变形举例 0 xx a L 0 xx a L 0 xx a L sgn 2 x arectx L 2 xx arectab LL cos 2 x rectx L 证明 卷积的位移不变性 00 g xf xh xfh xd f xxh xfx h xd 00 00 0 00 xxd

2、d f xxh xfh xxd fh xxd f xh xxg xx 设则 则 l d x y 透透透透 过率过率过率过率 输出输出输出输出 输入输入输入输入 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示 双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率 若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔 上嵌入上嵌入上嵌入上嵌入 位相板位相板位相板位相板 透过率怎样变化透过率怎样变化透过率怎样变化透过率怎样变化 ffff ff ff x yf x yf x yfxyfxy

3、rxy rx yf x yf x yffxy d d ffxy d d xyxydddd rx yfxy 证明 r 令则 ff fdd ffxydd ffxy dd rxy fh xf xh xf xhx f xh xfhx dfhxdf xhx 证明 r 证明 实函数的自相关函数是实的 偶函数 ff ff rx yf x yf x yffxy d d ffxy d d xyxydddd rx yf xyfdd ff xydd ff 令则 ff xy dd rxy sinc x x 1 tri x x 0 5 sinc x x 1 tri x x 0 5 0 sinc x 1 1 x 2 0

4、1 0 5 x 0 5 1 x 0 1 1 0 5 0 5 tri x 0 5 0 0 5 1 0 5 1 5 x 求函数求函数求函数求函数g x rect 2x comb x 的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数 周期 1宽度 1 2 12 2 4 1 4 1 2 2 0 dxdxxga 2 sinc 4 1 4 1 2sin 2cos 2 2cos 2 4 1 4 1 2 2 n n nx dxnxdxnxxgan 0 2sin 2 2 2 0 dxxnfxgbn 频率f0 1 0 00 1 cos2sin2 2 nn n a g xanf x

5、bnf x 122 cos 2 cos 6 23 xx 11 f x yf x yfxy exp 2 exp 2 xyxyxyxy xyxyxy f x yG ffG ffjf xf y df df G ffjfxfydf df gxy 2 g xdxg x gx dx 交换积分顺序 先对x求积分 exp 2 G f Gfdfdfjffx dx 利用复指函数的F T G f Gfffdfdf 利用 函数的筛选性质 G f Gf df 帕色伐定理 Parseval exp 2 exp 2 G fjfx dfGfjf x dfdx 证明 ddyxhgFhgF dxdyyfxfiddyxhg yx

6、2exp ddffigffH yxyx 2exp HGffGffH yxyx dxdyffiyfxfi ddyxhg yxyx 2exp 2exp ddffi dxdyyfxfiyxhg yx yx 2exp 2exp yx ffH F g hG H 证明 comb x comb 1 x 1 fx fy rect x sinc x fx fy 11 与 函数互为F T comb f comb f sinc f rect f x a exp j2 fax exp j2 fxa fx fa 2 cos 0 x f 2 1 00 ffff xx tri x sinc2 f 系统的输入 f x y 1

7、 cos 8 x rect x 75 脉冲响应 h x y 7sinc 7x y 1 11 44 7 75sinc 75 22 xxx x xfff f rect F 1 x 1 cos 8 75sinc 75frect 7 x x f F F 11 75sinc 75rect75sinc 75rect 775 x xx fx ff FF 1 1 cos 8 7sinrectx c 75 7gyxx x y FFF 3 53 5 x f 间隔为3的 脉冲阵列 基频为1 3 在有限空间 区域不为零 x 25 三角波 底宽为2 50 rect 3 comb 3 1 x xx xg 输入 0 25

8、33 25 x g x 1 光栅由无穷多狭缝构成 每条狭缝的宽度均为a 相邻缝的中心矩 光栅常数 为d d a 且光栅被 限制在边长为L的正方形内 求光栅频谱 11111 111 1 n xxxxy t x yrectxndrectcombrectrect aaddLL 物面像面 x0 xi l di 如图 光阑缝宽3cm 透镜 焦距5cm 照明波长10 4cm 成像倍率为1 如果物体是 振幅透过率t0 x0 nd 的理想光栅 周期d为 0 01mm 求像的强度分布 1 150 mm 2 0 x ix icx l f d f dHfrect l 其他 0 1 i gii n x UxUxnd

9、MM 1 gxx n n Gff dd 111 ixgxcxxxx G fGfHffff ddd 1 100 mm d 1 exp 2 exp 2 12cos2 iii ii xxx U xjj ddd 物面像面 x0 xi l di 如图 光阑缝宽2cm 透镜 焦距5cm 照明波长10 4cm 成像倍率为1 如果物体是 振幅透过率t0 x0 nd 的理想光栅 周期d为 0 01mm 求像的强度分布 1 200 mm 0 x x i x i l f f df ld 其他 H 0 1 i gii n x UxUxnd MM xx n n ff d g A 111111 1 1 1 22 xxx

10、ixgxxxxxxx iii fff fffffffff ldlddldddd AAH 1 100 mm d 1 1exp 2 exp 2 1 cos2 2 iii ii xxx I xjj ddd 有一单透镜成像系统 其圆形边框的直径为7 2cm 焦距为10cm 且物和像等大 设物的透射率函数为 式中 b 0 5 10 3cm 今用 600nm的单色光垂直照射该物 试解析 说明在相干光和非相干光照射情况下 像面上能否出现强度起伏 解 物周期 其频率为 线 mm mm 故线 mm 线 mm 在相干照射条件下 系统的截止频率小于物 的基频 此时 系统只允许零频分量通过 其他频 谱分量均被档住 所

11、以物不能成像 像面呈均匀分 布 在非相干照射下 系统的截止频率大于物 的基频 故零频和基频均能通过系统参与成像 在 像面上将有图像存在 基于这种分析 非相干成像 要比相干成像好 2sin bxxt 2 1 bT 1 1 12 400f Tb 0 2200 i ddf 300 2 c i D f d 0 600 i D f d 1c ff 10 ff 设物的透射率函数为 解 物周期 其频率为 线 mm mm 线 mm 线 mm 在相干照射下 这个呈正弦分布的物函数复振幅能 够不受衰减地通过此系统成像 对于非相干照射方式 物函数的基频也小于其截止 频率 故此物函数也能通过系统成像 但其幅度要 随空

12、间频率的增加受到逐渐增大的衰减 即对比度 降低 由此可见 在这种物结构中 相干照射方式比非相 干照射方式要好 sin 2 t xx b 1 Tb 1 1 11 200f Tb 0 2200 i ddf 300 2 c i D f d 0 600 i D f d 10c fff 摄影时由于不小心 在横向抖动了2a 形成 两个像的重影 试设计一个改良次照片的 逆滤波器 解 依题意 每个物点成像为两个点 即引起成像缺陷 的点扩散函数为 其傅氏变换为 得到逆滤波器的滤波函数为 h x yxaxa 22 2cos 2 xx jf ajf a xyx H ffh x yeef a 11 2cos 2 xy

13、 xyx Hff H fff a 在4f系统输入平面处放置40线 mm的光栅 入射光 波长为632 8nm 为了使频谱面上至少能够获得 5 级衍射斑 并且 相邻衍射斑间距为2mm 求透镜的 焦距和直径 解 设光栅尺寸很大 则其透过率为 其频谱为 各级频谱中心空间坐标为 相邻频谱空间间隔为 得到 透镜的截止频率为 解得 1 xx t xrectcomb add sin xx m amam T fcf ddd 2x m f xff d 2 f x d 2 79 x d fmm 5 2 c D f fd 10 20 f Dmm d 利用4f系统作阿贝伯特实验 设物函数为一正交 光栅 其中 a b分别

14、是对应的缝宽和缝间隔 若只 让x方向的 1级频谱通过 则输出面上强度分布 光栅方程 傅氏频谱分布 经滤波后 像面场分布为 光强分布 1111 11 111222 11 xxyy t x yrectcombrectcomb abbabb 1122 1122 1122 111222 11 sin sin 11 sin sin xyxxyy xy nn T ffac f afac f af bbbb nnnn acafacaf bbbbbb 1 1 111 11 sin xyx a T ffacf bbb 1 3313 111 11 sin exp 2 a t xyacjx bbb 2 1 13 1

15、11 2 2 311 111 11 sin exp 4 2sin cos 4 a Iacjx bbb xaa c bbb 7 10 用图示光路记录和再现傅里叶变换全息图用图示光路记录和再现傅里叶变换全息图用图示光路记录和再现傅里叶变换全息图用图示光路记录和再现傅里叶变换全息图 透透透透 镜镜镜镜L1和和和和L2的焦距分别为的焦距分别为的焦距分别为的焦距分别为f1和和和和f2 参考光角度为参考光角度为参考光角度为参考光角度为 求求求求 再现像的位置和全息成像的放大倍率再现像的位置和全息成像的放大倍率再现像的位置和全息成像的放大倍率再现像的位置和全息成像的放大倍率 解解解解 根据题意根据题意根据题

16、意根据题意 在胶片上发生相干叠加的在胶片上发生相干叠加的在胶片上发生相干叠加的在胶片上发生相干叠加的 两个场分别是两个场分别是两个场分别是两个场分别是 和和和和 其中其中其中其中 G是物体透过率函数的傅里叶变换是物体透过率函数的傅里叶变换是物体透过率函数的傅里叶变换是物体透过率函数的傅里叶变换 总光场为总光场为总光场为总光场为 10 11 xy UA G ff 20 sin exp 2 UBjy 00 11 sin exp 2 xy UA GBjy ff 胶片上的光强胶片上的光强胶片上的光强胶片上的光强 显影后显影后显影后显影后 胶片的复振幅透过率正比于曝光胶片的复振幅透过率正比于曝光胶片的复振幅透过率正比于曝光胶片的复振幅透过率正比于曝光 光强光强光强光强 2 22 000000 111111 sinsin exp 2 exp 2 xyxyxy IBAGA B GjyA B Gjy ffffff 2 2 0 11 00 11 00 11 sin exp 2 sin exp 2 b xy t x ytAG ff xy A B Gjy ff xy A B Gjy ff 将制作好的全息图放