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1、高中数学秒杀型推论高中数学秒杀型推论一 函数1. 抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx) T=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x
2、）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性 （1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（a+b2，c2）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=a+b2成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)limfx0g(x)0f(x)g(x)=f(x)g(x) limfxg(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)二、三角1. 任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA2任意三角形内切圆半径r=2Sa+b+c（S为面积），外接圆半径R=a
3、bc4S=a2sinA=b2sinB=c2sinC3.和差化积公式（只记忆第一条）sin+sin=2sin+2cos-2sin-sin=2cos+2sin-2 cos+cos=2cos+2cos-2 cos-cos=-2sin+2sin-24积化和差公式sinsin=- cos(+)-cos(-) 2coscos= cos+cos(-) 2sincos= sin+sin(-) 2 cossin= sin+-sin(-) 25万能公式6三角混合不等式：若x（0，2),sinxxtanx当x0时sinxxtanx7.三角形三边a.b.c成等差数列，则tanA2tanC2=138.三角形不等式（1）
4、在锐角中，sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanCcotA+cotB+cotC（2）在中，sinAsinBcos2Acos2B三、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.An+1=kAn+f(n)两边同除以kn+1，构造数列Ankn，通过累加法得出通项公式2. An+1=kAn+C设一常数x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=Ck-1，得到等比数列An+xAn-1+x,公比为k四、不等式1常用对数不等式当x-1时，x1+xln（x+1)xex1+xx+1ex当且仅当x=0时等号成立2.
5、伯努利不等式当x-1，n0时或n为正偶数，xR时（1+x）n1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立3当n0时，n+1-n12n1时，1n-1n+11n21n-1-1n 5.双绝对值函数图像五、解析几何1圆锥曲线统一极坐标方程=ep1-ecos2圆锥曲线统一焦点弦长公式L=2ep1-e2cos23.定比分点公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分点坐标为（xA+xB1+，yA+yB1+）4.若抛物线y2=2px，AB是抛物线上的动弦，kOAkOB=，则AB恒过定点（-2p，0）5.抛物线焦点弦性质：抛物线焦点弦两端点A（x1，y1）、B（x2，y2），焦点弦斜率为k，焦点弦长度
6、为L（1）y1y2=-p2x1x2=p24x1+x2=p+2pk2=p（1+2k2）y1+y2=2pk（2）L=x1+x2+p=2psin2=2p（1+1k2）=（y1-y2）22p（3）k=2py1+y2（4）1x1+p2+1x2+p2=2p（5）SOAB=p4y1-y26圆锥曲线焦点弦性质（通性）：焦点弦长为L，（1）已知x1+x2时，椭圆：L=2a-e（x1+x2）双曲线：L=ex1+x2-2a抛物线：L=x1+x2+p（2）已知焦点弦倾斜角时，L=2ep1-e2cos2（3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1AF1+1BF1=2ep双曲线（焦点弦
7、端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数1AF1-1BF1=2ep（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数1AB+1CD=2-e22ep（5）圆锥曲线焦点弦AB的中垂线于对称轴（标准方程中为x轴）于D，DF与AB之比为e2DFAB=e2（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径有心圆锥曲线：通径长=2b2a无心圆锥曲线：通径长=2p7.圆锥曲线的焦半径（通性）（1）极点为焦点，极轴为x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的为极径，即焦半径，为极角=ep1-ecos（2）已知焦半径端点的横坐标x时椭圆：=a-ex双曲线：=ex-a抛物线：=x+p28双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上
8、一个点，SPF1F2=b2tan2P为双曲线上一个点，SPF1F2=b2cot29.圆锥曲线幂定理：圆锥曲线F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M（x0，y0），且倾斜角为的直线L交于P1.P2两点，则MP1MP2=F（x0，y0）Acos2+Bsin2=Ax02+Bx02+Dx0+Ey0+FAcos2+Bsin210.点P（x0，y0）对圆锥曲线C引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线），或点P（x0，y0）为切点，则极线方程或切线方程为（1）若C为椭圆，x0xa2+y0yb2=1（2）若C为双曲线，x0xa2-y0yb2=1（3）若C为抛物线，y0y=p（x+x0）11
9、.关于双曲线渐近线：（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，离心率的倒数平方和为1：1e12+1e22=1（2）焦点到渐近线距离为虚半轴长b（3）若两渐近线夹角为，则双曲线离心率e=1cos2=sec2（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数a2b2a2+b2（5）过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q，则MPMQ=a212过有心圆锥曲线上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值k=x0b2y0a2过无心圆锥曲线上上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为
10、定值k=-py0以上情况中，APB的角平分线x=x0平行于y轴，APB的内切圆圆心恒过直线x=x0.13.圆锥曲线光学性质：椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴14.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为b215.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率弦中点与中心连线的斜率=-b2a2双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率弦中
11、点与中心连线的斜率=b2a216.抛物线y2=2px内接RtOAB（以O为直角顶点），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒过顶点（2p,0）（3）AB中点轨迹方程y2=p（x-2p）（4）AB边上高的垂足轨迹方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（12OAOB）min=4p217圆锥曲线上一弦AB，其中点M（x0，y0），AB的斜率为（1）对于椭圆，kAB=-b2x0a2y0（2）对于双曲线，kAB=b2x0a2y0（3）对于抛物线，kAB=py026.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P（x0，y0），另有一直线L于圆锥曲线交
12、于与P相异两点A.B.第一组：当kPAkPB=（b2a2）时1） 对于椭圆，L恒过定点（a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0）2） 对于双曲线，L恒过定点（a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0）3） 对于抛物线，L恒过定点（x0-2p，-y0）第二组：当kPA+kPB=（0）时1） 对于椭圆，L恒过定点（x0-2y0，-2b2x0a2-y0）2） 对于双曲线，L恒过定点x0-2y0，2b2x0a2-y03） 对于抛物线，L恒过定点（x0-2y0，2p-y0）七、立体几何1.空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n，垂足距离为d，另一端点之间距离为L，则平面所成二面角，满足cos=L2-（d2+m2+n2）2mn2.二面角射影定理：如果平面内的一个多边形面积为S，它在平面内的射影面积为S射，与所成二面角为，则cos=S射S3.台体两底面面积为S.S，则中截面S0满足2S0=S+S4.内切球半径公式：V为n面体体积，S为n面体表面积，则r=3VS13
