高(清北班)资料1(集合综合)

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1、第 1 页 共 10 页 专题一 集合综合选讲专题一 集合综合选讲 一 重要知识清单一 重要知识清单 一 集合的概念 一 集合的概念 1 1 集合元素的三性 集合元素的三性 元素的确定性 给定一个集合 任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 如 我班的高个子 能否组成一个集合 元素的互异性 集合中的元素是没有重复现象的 任何两个相同的对象在同一个集合中 时 只能算作这个集合的一个元素 如不能组成集合 一元二次方程有二等根时 其解集只有一个元素 a a b c 元素的无序性 即与表示同一集合 1 2 2 1 2 2 集合的表示方法 集合的表示方法 列举法 代表由元素组成的集合 或 这里 12

2、3 n x x xx 123 n x x xx i x iI 表示指标集 I 描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 一般记为 xA p x 使命题为真的中诸元素之集 p xA 文氏 韦恩图 法 用 或 表示集合的方法 二 集合与集合的关系 二 集合与集合的关系 包含包含 与与 不包含不包含 关系 关系 1 1 子集 子集 任意 则 或 xAxB AB BA 否则存在 则 或 xAxB ABBA 性质 特别地 传递性 A AA AB BCAC 则 任意两集合 间的五种关系 AB 2 2 真子集 真子集 任意 且存在 但 则 xAxB yB yA AB BA 性质 则 则 但错误

3、 AB BC AC A A 3 3 集合相等 集合相等 对于集合 若且 则 ABAB BA AB 用于证明两集合相等 A A B A AB B A A B A BAB AB 包含 关系 B A A B 不包含 关系 第 2 页 共 10 页 A B 注意区分几个符号 与 与 对吗 a a0 0 1 1 2 3 1 1 2 与 对吗 0 0 0 注 或 是对的 或 是对的 0 0 0 0 4 4 全集 补集 全集 补集 1 1 补集 补集 若 由中所有不属于的元素组成的集合 叫做中子集的补 余 AS SASA 集 记 S C A 补集是相对于全集而言的 S C Ax xSxA 且 2 2 全集

4、全集 含有所要研究的集合的全部元素的那个集合称为 全集 用等来表示 U I S 3 3 补集的性质 补集的性质 U C U U CU UU CC AA 三 集合的运算 三 集合的运算 1 1 交集 交集 且 注意 且 不能用 和 与 等代替 它相当于 ABx xA xB 同时 都 既 又 等意思 性质 交换律 AAA A ABBA 结合律 ABCABC ABA ABB 2 2 并集 并集 或 或 有三层意思 ABx xA xB 只属于不属于的元素 只属于不属于的元素 ABBA 既属于又属于的元素 AB 性质 交换律 AAA AA ABBA 结合律 ABCABC 于是 AAB BAB ABAAB

5、 ABBAB 3 3 子 交 并 补集的混合性质 设全集为 子 交 并 补集的混合性质 设全集为 U AUA AUU UU AC AAC AU 分配律 ABCABACABCABAC A S S C A A B AB AB 第 3 页 共 10 页 AB ACABC AC BCABC ABABA ABABB 摩根定律 又叫反演律 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 4 4 容斥原理 容斥原理 其中 表示集合中元素的个数 CardAA Card ABCardACardBCard AB Card ABCCardACardBCardCCard ABCard BC Card CACar

6、d ABC 二 集合综合应用选讲二 集合综合应用选讲 1 1 元素与集合 集合与集合的关系 元素与集合 集合与集合的关系 例 1 1 设全集 已知集合 ZU ZkkxxA 3 ZkkyyB 13 则 ZkkzzC 23 ZkkwwD 16 AB AC BC BD U C DB 2 集合 求与的关系 2 3 ABy yA AB 练习 设 A B 为两个集合 下列四个命题 AB对任意 AB BxAx 有 AB ABA B AB存在 BxAx 使得 其中真命题的序号是 把符合要求的命题序号都填上 3 设 是的子集 且中至少含有一个立方数 则这种子集的个 1 2 3 100M AMAA 数是 第 4

7、页 共 10 页 例 2 满足条件的函数形成了一个集合 其中 1212 4g xg xxx xgMRxx 21 并且 求函数与集合的关系 1 2 2 2 1 xx 23 2 Rxxxxfy M 例 3 对于函数 若 则称为函数的不动点 对于函数 若 yf x f xx x yf x 则称为函数的稳定点 记函数的不动点与稳定点的集合分别为 f f xx x yf x 和A 即 B Ax f xx Bx f f xx 1 求证 AB 2 设 2 f xxbxc b c R 当时 求集合 如果是单元素集 试判断集的关系 1 3A BA A B 3 若 且 求实数的取值范围 2 1 f xaxaR x

8、R AB a 第 5 页 共 10 页 例 4 已知为有限集 且 满足集合中的所有元素之和与所有元素之积相等 写出所A NA A 有这样的集合 A 2 2 集合开放性问题 集合开放性问题 例 1 1 定义集合运算 设集合 ABz zxy xy xA yB A 0 1A 则集合的所有元素之和为 2 3B ABA A 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 0 B 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 6 C 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯

9、屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 12 D 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 18 2 设是至少含有两个元素的集合 在上定义了一个二元运算 即对任意的SS 对于有序元素对 在中有唯一确定的元素与之对应 若对任意的abS ab S a b 有 则对任意的 下列等式中不恒成立的是 abS ab ab abS A 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 B 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxck

10、t 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 a baa ab aa ba C 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 D 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 bb bb a bba bb 3 已知集合 且 则集合 所 54321 aaaaaCBA 21 aaBA ABC 有 可能的情况有 种 4 设集合 都是的含两个元素的子集 且满足 对任意 12 3 4 5 6 M 12k SSS M 第 6 页 共 10 页 的 都有 i

11、ii Sab jjj Sab ij 12 3 ijk min ii ii ab ba 表示两个数中的较小者 则的最大值是 min jj jj ab ba min xy xy k A 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 10 B 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 11 C 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 wxckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 12 D 2 20 00 07 7 新新疆疆奎奎屯屯 w

12、xckt 特特级级教教师师 王王新新敞敞 源源头头学学子子小小屋屋 13 例 2 已知集合 其中 由中的元素构成 12 2 k Aaaak 12 i aZ ik A 两个相应的集合 Sab aAbAabA Tab aAbAabA 其中是有序数对 集合和中的元素个数分别为和 ab STmn 若对于任意的 总有 则称集合具有性质 aA aA AP I 检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合 写出相应的 012 3 12 3 PP 集合和 ST II 对任何具有性质的集合 证明 PA 1 2 k k n III 判断和的大小关系 并证明你的结论 mn 3 3 集合的运算与含参问题 集合的运算与

13、含参问题 例 1 1 已知集合 且 2 80 Ax xax 2 20 Bx xaxb 49ABxx 求的值 a b 第 7 页 共 10 页 2 设集合 若 RyxyxyxA 12 RyxayxayxB 2 2 求的值 AB a 3 已知集合 若 求实数的 02 023 22 aaxxxSxxxPPS a 取值组成的集合 A 变式练习 已知集合 且 求实数的取值范围 034 0 3 2 22 aaxxxB x x xABA a 4 已知集合 且 求的取值范围 2 80 Ax xax 20 Bx xa ABB a 5 已知 求成立时 求实 222 1 Mx yyxNx yxya MNN 数的取值

14、范围 a 例 2 已知集合 问 22 1 1 1 Ax y axyBx y xayCx y xy 1 当取何值时 为含有两个元素的集合 aCBA 第 8 页 共 10 页 2 当取何值时 为含有三个元素的集合 aCBA 例 3 设集合 集合 集合 01 2 xyyxA 05224 2 yxxyxB bkxyyxC 1 若对任意的 使得 试求实数的取值范围 Rk BC b 2 是否存在 使得 若存在 请求出的值 若不存在 请说Nbk ABC bk 明理由 作业 作业 A A 组题组题 1 给定三元集合 则实数的取值范围是 1 2 xxx x 2 若集合中只有一个元素 则 012 2 RxRaxa

15、xxA a 3 集合的非空真子集有 个 3 2 1 B 第 9 页 共 10 页 4 已知集合 若 则由满足条件的实数 01 023 2 axxNxxxMMN 组成的集合 P a 5 已知 且 则常数的取值范围是 2 axxBxxA BA a 6 若非空集合 S 满足 且若 则 那么符合要求的集合 S 有 5 4 3 2 1 SSa Sa 6 个 7 集合之间的关系是 14 12 ZkkYZnnX 与 8 若集合 其中 且 若 则 A 中元素之和是 1 xyxyxAZx Zy 0 yA 0 9 集合 且 则满足条件的值构成的 01 06 2 mxxMxxxPPM m 集合为 10 集合 则 9

16、 12 2 RxxyyBRxxyxA BA 11 若集合 则中元素 012M 210210Nxy xyxyxyM 且 N 的个数为 9642 12 已知 S 是由实数构成的集合 且满足 1 若 则 如果 2 1S Sa S a 1 1 S S 中至少含有多少个元素 说明理由 13 已知 又 C 为单元素集合 求实BACaxyyxBxayyxA 数的取值范围 a 14 设 P 是一个数集 且至少含有两个数 若对任意 都有 abP ab ab ab 除数 则称 P 是一个数域 例如有理数集 Q 是数域 数集 a b P0b 也是数域 有下列命题 2Fabab Q 整数集是数域 若有理数集 则数集 M 必为数域 数域必为无限集 存在无M Q 穷多个数域 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上 答案 B B 组题组题 1 已知集合 且 A B 则 0 yxByxxyxA x y 2 9 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 BCACBAIBIAI 则 8 6 4 1 BAC 1B CA 3 已知集合 当时 实数 121 0310 2 mxmxBxxxA BA 的取值