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1、LI Wensheng SCST BUPT 李文生李文生 北京邮电大学北京邮电大学 计算机学院计算机学院 wenshli 010 62282929 第第6 6章章模态逻辑模态逻辑 wenshli 2 55 本章内容本章内容 1 1 模态逻辑介绍模态逻辑介绍 2 2 模态命题逻辑形式系统模态命题逻辑形式系统 3 NSK3 NSK元理论元理论 4 4 其他正规系统其他正规系统 5 5 模态词的归约模态词的归约 wenshli 3 55 1 1 模态逻辑 模态逻辑 Modal LogicModal Logic 介绍 介绍 逻辑的一个分支 研究必然 可能及其相关概念的逻逻辑的一个分支 研究必然 可能及
2、其相关概念的逻 辑性质 辑性质 模态词 表示事物的模态词 表示事物的 势态势态 人的 人的 情态情态 过程 过程 的的 变迁变迁 的词 如的词 如 必然 可能必然 可能 应该 允应该 允 许许 知道 认可知道 认可 一贯 偶然一贯 偶然 等 等 逻辑学中 有狭义模态和广义模态之分 逻辑学中 有狭义模态和广义模态之分 狭义模态 涉及必然性和偶然性的模态 狭义模态 涉及必然性和偶然性的模态 从某种观点来看 它们表达的是命题的真假强度 因从某种观点来看 它们表达的是命题的真假强度 因 此 也称为真值模态 例如 此 也称为真值模态 例如 物体间存在着引力是必然的物体间存在着引力是必然的 火星上可能有人
3、火星上可能有人 wenshli 4 55 广义模态 涉及命题本身所具有的非真值函项的种种广义模态 涉及命题本身所具有的非真值函项的种种 性质的模态 性质的模态 广义模态词 广义模态词 必然 可能必然 可能 真理论模态逻辑真理论模态逻辑 应该 允许 禁止应该 允许 禁止 道义论模态逻辑道义论模态逻辑 知道 相信 可接受 可疑 可证知道 相信 可接受 可疑 可证 认识论模态逻辑认识论模态逻辑 曾经 总是 将是曾经 总是 将是 时序逻辑时序逻辑 一贯 偶然 经验的 有先例的一贯 偶然 经验的 有先例的 经验论模态逻辑经验论模态逻辑 优先 中立等优先 中立等 价值论模态逻辑价值论模态逻辑 比如 比如
4、子女赡养父母是应该的子女赡养父母是应该的 宇宙间存在着黑洞是可信的宇宙间存在着黑洞是可信的 模态逻辑介绍 续 模态逻辑介绍 续 wenshli 5 55 模态逻辑引入模态逻辑引入 逻辑系统的发展逻辑系统的发展 命题逻辑命题逻辑 一阶谓词逻辑 扩充命题逻辑系统的描述能力 一阶谓词逻辑 扩充命题逻辑系统的描述能力 模态逻辑 扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力 模态逻辑 扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力 命题逻辑的不足 原子命题不能细化 不能完全描述命题逻辑的不足 原子命题不能细化 不能完全描述 现实世界中的问题 现实世界中的问题 如 所有实数的平方都是非负的 如 所有实数的平方都是非负的 3
5、 3 是实数 是实数 3 3 的平方是非负的 的平方是非负的 一阶谓词逻辑利用谓词 函词和量词来解决这样的问一阶谓词逻辑利用谓词 函词和量词来解决这样的问 题题 x R x x R x P P x x R R 3 3 P P 3 3 wenshli 6 55 命题逻辑和一阶谓词逻辑的不足 命题逻辑和一阶谓词逻辑的不足 都不能描述有时间 地点概念的变化 都不能描述有时间 地点概念的变化 有些命题是否成立与其所在的时间和场合有关系 例有些命题是否成立与其所在的时间和场合有关系 例 如 如 A A 太阳系有八颗行星 太阳系有八颗行星 B B 汽车是一个必备的生活工具 汽车是一个必备的生活工具 C C
6、 1 1 1 1 2 2 用模态逻辑来描述这样的时间与场合上的概念 用模态逻辑来描述这样的时间与场合上的概念 对于在某些场合成立的命题 规定为对于在某些场合成立的命题 规定为 可能真可能真 的 的 对于在所有场合都为真的命题 规定为对于在所有场合都为真的命题 规定为 必然真必然真 的 的 模态逻辑引入 续模态逻辑引入 续1 1 wenshli 7 55 模态命题 陈述事物情况的必然性或可能性的命题 模态命题 陈述事物情况的必然性或可能性的命题 反映人们对客观事物认识的程度 反映人们对客观事物认识的程度 模态逻辑中 对必然和可能的描述 模态逻辑中 对必然和可能的描述 可能可能A A A A 命题
7、 命题A A至少在一个可以实现的场合中成立 至少在一个可以实现的场合中成立 必然必然A A A A 命题 命题A A在所有能够实现的场合中成立 在所有能够实现的场合中成立 模态逻辑引入 续模态逻辑引入 续2 2 wenshli 8 55 模态逻辑的实质模态逻辑的实质 命题逻辑和一阶谓词逻辑的扩充命题逻辑和一阶谓词逻辑的扩充 引入了两个模态词引入了两个模态词 必然必然 可能 可能 场合之间的场合之间的 可达可达 关系关系 场合从目前所处的场合是否可以实现 到达 场合从目前所处的场合是否可以实现 到达 模态词 表示在当前场合可以达到的场合中都是成立的模态词 表示在当前场合可以达到的场合中都是成立的
8、 模态词 表示在当前场合可以达到的场合中 至少有一模态词 表示在当前场合可以达到的场合中 至少有一 个是成立的个是成立的 场合与现实之间的关系场合与现实之间的关系 程序模块 时间段 地理位置等程序模块 时间段 地理位置等 在模态逻辑中 称这些不同的场合为可能世界 在模态逻辑中 称这些不同的场合为可能世界 wenshli 9 55 基本模态概念基本模态概念 真命题 区分为必然真的命题和并非必然真的命题真命题 区分为必然真的命题和并非必然真的命题 假命题 区分为必然假的命题和并非必然假的命题假命题 区分为必然假的命题和并非必然假的命题 必然命题 必然真的命题 也称为必真命题 必然命题 必然真的命题
9、 也称为必真命题 不可能是假的命题 不可能是假的命题 不可能命题 必然假的命题 不可能命题 必然假的命题 可能命题 并非不可能的命题 可能命题 并非不可能的命题 可能命题包括所有的真命题 必然命题和并非必然的可能命题包括所有的真命题 必然命题和并非必然的 命题 即除不可能命题以外的所有命题 命题 即除不可能命题以外的所有命题 偶然命题 既非必然又非不可能的命题 偶然命题 既非必然又非不可能的命题 wenshli 10 55 真命题 真命题 在实际世界中为真在实际世界中为真 的命题 的命题 例如 例如 尼克松在尼克松在19691969年成为总统 年成为总统 必然命题 必然命题 在所有可能世界中都
10、为真在所有可能世界中都为真 的命题 的命题 例如 例如 所有单身汉都是未婚的 所有单身汉都是未婚的 不可能命题 不可能命题 不在可能世界中为真不在可能世界中为真 的命题 也称的命题 也称 为为 必然假命题必然假命题 例如 张三例如 张三 和和 李四李四 同时比对方高 同时比对方高 可能命题 可能命题 至少在一个可能世界中为真至少在一个可能世界中为真 的命题 的命题 例如 例如 明天不下雨明天不下雨 这个地区有石油这个地区有石油 偶然命题 偶然命题 在一些可能世界中为真 在另外一些可在一些可能世界中为真 在另外一些可 能世界中为假能世界中为假 的命题 的命题 比如 比如 尼克松在尼克松在1969
11、1969年成为总统 年成为总统 偶然为真偶然为真 休伯特休伯特 汉弗莱在汉弗莱在19691969年成为总统 年成为总统 偶然为假偶然为假 基本模态概念 续基本模态概念 续1 1 wenshli 11 55 模态模态 概念 概念 必然性必然性 不可能性不可能性 偶然性偶然性 可能性可能性 指的是逻辑上的必然性 不可能性 偶然性 可能性 指的是逻辑上的必然性 不可能性 偶然性 可能性 可以根据它们中的任何一个概念来解释其余三个概念 可以根据它们中的任何一个概念来解释其余三个概念 必然必然 的含义 的含义 无论事物是怎样的 也无论世界是怎样的 这个命题无论事物是怎样的 也无论世界是怎样的 这个命题
12、都不可能不真 都不可能不真 如命题 所有单身汉都是未婚的 如命题 所有单身汉都是未婚的 再如命题 没有物体的运动速度比光速更快 再如命题 没有物体的运动速度比光速更快 命题命题P P是必然真的是必然真的 等价于等价于 P P是假的是假的是不可能是不可能 的的 P P是可能真的是可能真的 等价于等价于 P P是假的是假的不是必然为真不是必然为真 的的 基本模态概念 续基本模态概念 续2 2 wenshli 12 55 由命题由命题A A可以形成命题 可以形成命题 A A是必然的 表述为 必然是必然的 表述为 必然A A 当当A A是必然命题时 是必然命题时 必然必然A A 为真 否则为假 为真
13、否则为假 必然必然 一元命题形成算子 不是真值函项算子 一元命题形成算子 不是真值函项算子 A A假假 可确定命题 可确定命题 必然必然A A 是假的 是假的 A A真 可否确定真 可否确定 必然必然A A 的真假 的真假 不能 不能 A A真真分为两种情况 分为两种情况 A A必然真必然真和和并非必然真并非必然真 对于前者 对于前者 必然必然A A 真 对于后者 真 对于后者 必然必然A A 假 假 可能可能 一元命题形成算子 不是真值函项算子 一元命题形成算子 不是真值函项算子 A A真 可确定命题真 可确定命题 可能可能A A 是真的 是真的 A A假 可否确定假 可否确定 可能可能A
14、A 的真假 的真假 不能 不能 A A假假分为分为A A必然假必然假和和并非必然假并非必然假 对于前者 对于前者 可能可能A A 假 对于后者 假 对于后者 可能可能A A 真 真 必然必然 和和 可能可能 算子称作模态算子 算子称作模态算子 基本模态概念 续基本模态概念 续3 3 wenshli 13 55 模态命题演算基于命题演算 模态命题演算基于命题演算 FSPCFSPC的公理 定理 推导规则等 在模态系统中仍的公理 定理 推导规则等 在模态系统中仍 然有效 且其解释和以前一样 包括其初始变形规则 然有效 且其解释和以前一样 包括其初始变形规则 如一致代入规则 分离规则和置换规则等 如一
15、致代入规则 分离规则和置换规则等 模态算子不是真值函项算子 模态算子不是真值函项算子 意味着它们不可能由意味着它们不可能由PCPC的算子 如的算子 如 及它们及它们 的复合 来表示 因为的复合 来表示 因为PCPC的算子都是真值函项算子 的算子都是真值函项算子 模态命题逻辑是对模态命题逻辑是对FSPCFSPC进行扩充得到的 进行扩充得到的 引入新的模态算子 并扩充了公式的种类 引入新的模态算子 并扩充了公式的种类 增加增加 必然必然 算子算子 L L 可能可能 算子算子 M M 并允许它们把任何公式作为自变元 如 并允许它们把任何公式作为自变元 如 p p q q 意思是 意思是 必然必然 p
16、 p或或q q p p q q 意思是 意思是 必然必然p p 或或 q q 基本模态概念 续基本模态概念 续4 4 wenshli 14 55 如果如果 和和 被解释为必然性和可能性算子 则下面的被解释为必然性和可能性算子 则下面的 等价式应该是有效的 等价式应该是有效的 p p p p p p p p 包含这些等价式的系统无须将包含这些等价式的系统无须将 和和 都作为初始符都作为初始符 号 号 将将 作为初始符号 并定义作为初始符号 并定义 这样的系统称为这样的系统称为 基系统 基系统 将将 作为初始符号 并定义作为初始符号 并定义 这样的系统称为这样的系统称为 基系统 基系统 对模态系统的直观要求对模态系统的直观要求 wenshli 15 55 模态算子不是真值函项 模态算子不是真值函项 在任一直观上似乎合理的模态系统中 在任一直观上似乎合理的模态系统中 p p必定不与必定不与 p p的任何真值函项等价 的任何真值函项等价 对于对于p p 只有四个性质不同的真值函项 只有四个性质不同的真值函项 f f p p自身自身 p p的否定的否定 t t 下面所列出的公式是不是有效的 下面
