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1、内蒙古集宁一中（东校区）2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）一、选择题（共60分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合，由此能求出【详解】因为，所以【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知函数.若，则（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】令，则是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得的值【详解】令 ，则是上的奇函数，又，所以，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题3.函数y=log（5+4x-x2）的单调递增区间为
2、A. (2, 5)B. (-1, 2)C. (-, 2)D. (2,+)【答案】A【解析】【分析】首先求出定义域，再由复合函数的单调性“同增异减”判断即可【详解】解 ，解得 内层函数在上单调递增，在上单调递减外层函数单调递减所以的单调递增区间【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要注意是定义域优先原则，属于基础题4.若直线和没有公共点，则与的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据两直线位置关系判断公共点个数，再作选择.【详解】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，所以选D.【点睛】本题考查两直线位置关系，考查基本分析判断能
3、力.5.已知函数，则（ ）A. 3B. 5C. 6D. 32【答案】C【解析】【分析】将代入函数解析式求得结果即可.【详解】由题意得：本题正确选项：【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到对数的运算，属于基础题.6.如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的面积为（ ）.A. 4B. C. D. 8【答案】B【解析】【分析】由斜二测画法可知：直观图形的面积是原面积的，所以只需求出原图形的面积即可求出直观图形的面积.【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，则，所以，. .【点睛】本题考查求斜二测图形的面积，解题的关键是把握两种画法的区别
4、与联系，熟悉面积之间的关系，属于基础题.7. 下列说法正确的是（ ）A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A错误不共线的三个点才可以确定一个平面；B错误四边形不一定是平面图形如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；C正确梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；D错误两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C8.如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成
5、角的余弦值，得到答案.【详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得,所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，所以异面直线和所成的角为，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大
6、小比较同一区间的取值10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. +12C. +10D. 24【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体是四棱柱和半球的组合体，进而可得体积.【详解】由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个半径为2的半球，下面是一个四棱柱，底面是边长为2的正方形，高是3，所以几何体的体积是，故选B【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体体积的求解，考查了学生的空间想象力和计算能力，属于基础题.11.已知函数，则它的部分图象大致是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数，则函数为偶函数，根据的奇偶性可排除A、C.然后举特值和，比较
7、、的大小关系，即可找出对应的图像.【详解】解：函数，所以函数为偶函数，则排除A、C.当时，当时，.所以B正确.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数所对应图像，利用函数的奇偶性、单调性和特殊的函数值是解题常用的方法，属于基础题.12.若函数的值域为的函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的值域便知，（0，+）是函数y=ax2+ax+1值域的子集，从而得到，解该不等式组即可得出实数a的取值范围【详解】设y=ax2+ax+1，根据题意（0，+）y|y=ax2+ax+1；解得a4；实数a的取值范围为4，+）故选C【点睛】本题考查函数值域概念
8、，对数函数的值域，二次函数的取值和判别式的关系，以及子集的概念二、填空题（共20分）13.已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】分析可得，长方体体对角线即为外接球直径，代入数据即可求解【详解】长方体的体对角线即为外接球直径，所以外接球的表面积为【点睛】本题考查长方体的外接球问题，重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径，属基础题14.若,则的值域是_.(请用区间表示)【答案】【解析】【分析】利用分离参数法即可求解【详解】2，故f（x），故答案为.【点睛】本题考查了分式型函数的值域的求法，属于基础题15.已知函数若函数有3个零点，则实数a
9、的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围【详解】作出的函数图象如图所示：画出函数的图象，由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点；当或时，有2个零点故答案为.【点睛】本题考查根存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.16.有下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确
10、命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据圆柱母线垂直于底面的特点可知错误，正确；由圆锥的特点可知正确；当两点连线为球的直径时，可知错误.【详解】若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，错误；由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，正确；圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，正确；若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，错误.故答案为【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题.三、解答题（共70分）17.底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为【解析】
11、试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积试题解析：由题意中，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4即，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，【考点】图象的翻折，几何体的体积【此处有视频，请去附件查看】18.已知函数是指数函数(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)
12、根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）函数是指数函数，且，可得或（舍去），；（2）由（1）得，是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，解集为【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.已知函数恒有零点（1）求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分，两种情况讨论，当时，利用判别式求解，当时，验证即可（2）根据零点为对应方程的根，利用根与系数的关系求解即可.【详解】当 时，函数为，显然有零点；当
13、时，由 ，得 ，当，且 时，函数有零点综上，实数的取值范围为 （2）由题目条件知，设 ，是函数的两个零点，则有 ，即 ，解得又当时， ，符合题意，【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程，分类讨论，属于中档题.20.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数不超过20人，每人需交费用800元；若旅行团人数超过20人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数60人为止.旅行社需支付各种费用共计10000元.（1）写出每人需交费用S关于旅行团人数的函数；（2）旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1） （2）当旅行团人数为50人时，旅行社
14、可获得最大利润，最大利润是16000元【解析】【分析】（1）根据题意，按和分别写出每人所交费用和的函数关系；（2）用（1）得到的人均费用乘以人数，再减去支付费用，得到利润，并求出每段的最大值，得到答案.【详解】解：（1）当时，当，所以 （2）旅行社可获得利润为，则，所以， 当时，为增函数，所以时，当时，所以当时， 所以当旅行团人数为人时，旅行社可获得最大利润，最大利润是元.【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，求分段函数的最大值，属于中档题.21.已知，且（1）当时，解不等式；（2）在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，可得，即为，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，讨论，根据的范围，由恒成立思想，可得的范围.试题解析：（1）当时，解不等式，得，即， 故不等式的解集为.（2）由在恒成立，得在恒成立，
