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1、内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三数学第四次调研考试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定集合中元素，然后求交集详解】由题意，又，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素2.复数z满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求等式右边的模，然后由复数的除法运算计算【详解】，故选：D【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的模的运算，属于基础题3.在的展开式中，含项的系数为（ ）A. 16B. -16C. 8D. -8【答案】B【解析】【分析】利用多项式乘
2、法法则，需求的展开式中和的系数【详解】由题意所求系数为：故选：B【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数本题需要用多项式乘法法则计算4.已知，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两向量垂直，转化为数量积为0可求得，再由数量积的定义可求得两向量夹角【详解】，故选：C【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握两向量垂直与它们的数量积为0等价，从而可求得，再由数量积定义求得夹角余弦5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等
3、是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 1010.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.6.已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）A. 2019B. 2018C. 2017D. 2020【答案】C【解析】【分析】用基本量法求解即把已知条件用和表示并解出，然后再由通项公式得解【详解】由题意，解得故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项
4、公式和前项和公式，解题方法是基本量法7.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即，给出下列结论：四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把该四面体补成一个长方体，然后根据长方体对每个命题进行判断【详解】由于四面体ABCD的三组对棱分别相等，因此可以把它补成一个长方体，如图由长方体知：长方体的每个面是矩形，对角线不一定垂直，因
5、此四面体的对棱不一定垂直，错；四面体的四个面是全等三角形，因此面积相等，正确；由于四面体四个面是全等三角形，因此每个顶点出发的三条棱两两夹角之和这180，错；由四面体每条棱中点是所在长方体的面上的对角线交点，长方体对面对角线交点的连线互相垂直平分，即四面体每组对棱中点的连线段相互垂直平分，正确；四面体的每个面三角形的三边长就等于从同一点出发的三条棱的长度，正确因此有正确故选：A【点睛】本题考查空间直线间的位置关系，解题关键是把题中四面体补成一个长方体，利用长方体的性质易判断直线间的位置关系8.已知奇函数，且，当取最小值时，在下列区间内，单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
6、】【分析】由奇函数求出，由，得函数图象的一条对称轴是，由此可求得（最小的正数），再结合正弦函数（函数可转化为正弦型函数）的单调性可得【详解】是奇函数，又，是奇函数，直线 是图象的一条对称轴，其中最小的正数为即，由，得，ABCD中只有，因此A正确故选：A【点睛】本题考查三角函数的性质，解题关键是由确定函数图象的对称性，即是一条对称轴由奇偶性和对称性可求得参数，从而可确定函数的减区间9.已知点P是抛物线上一点，在点P处的切线恰好过点，则点P到抛物线焦点的距离为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】设坐标为，由导数求出线斜率，再由切线过点，可求得，然后可求得焦半径【详解】抛物线
7、方程为，设切点坐标为，切线斜率为，又切线过点，即或，抛物线标准方程为，点到焦点的距离为故选：B【点睛】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般10.如图，在三棱锥DABC中，底面ABC，为正三角形，若，则三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知条件说明是正方形，记与的交点为，则是等腰直角三角形，是斜边的中点，是的外心，平面，设是的外心，即，则是的外接球的球心，由此可得球的半径，从而得球的体积【详解】如图，设与的
8、交点为，三棱锥是三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分设是中点，连接，在上，且，是正三角形，是的外心由底面ABC，得，又，是正方形，即是等腰直角三角形，是的外心底面ABC，底面ABC，是正三角形，是中点，平面，即平面，是的外心，是的外接球的球心，其半径为，球体积为故选：B【点睛】本题考查球的体积，解题关键首先是确定三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分是三棱锥，其次确定三棱锥的外接球的球心三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上11.设双曲线 的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.
9、【答案】C【解析】【分析】由题意可得MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|NF2|m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率【详解】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，则，又|MF2|NF2|，可得MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|NF2|m，则|MN|m，由|MF2|MF1|2a，|NF1|NF2|2a，两式相加可得|NF1|MF1|MN|4a，即有m2a，在直角三角形HF1F2中可得4c24a2+（2a+2a2a）2，化为c23a2，即e故选C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角
10、三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题12.已知函数是定义在的偶函数，且.当时，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由已知确定函数的周期是4，利用导数研究在上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出在上的图象，的定义域是含有50个周期，方程有300个不同的实数根，那么在的一个周期内有6个根，令，可知方程有两个不等实根，且，由二次方程根的分布知识可得解【详解】由知函数的周期为4，当时，则，当时，递减，当时，递增，又是偶函数，作出在上的图象，如图函数的周期是4，定义域为，含有50个周期，方程有300个不同的实数根，
11、因此在一个周期内有6个根（这里，不是方程的根）令，方程有两个不等实根，且，设，则，解得故选：A【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性，二次方程根的分布，函数的零点问题，考查了分类讨论思想，数形结合思想，体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养二、填空题（每小题5分，共20分）13.高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为_.【答案】0.2【解析】【分析】体重超重者占40%中有8%血压异常，注意这里的40%和8%都是以高一新生总人数为基础求得的，因此题中所求概率相当于8%在40%这个条
12、件里占多少【详解】记事件表示体重超重，事件表示血压异常，则，故答案为：【点睛】本题考查条件概率，考查学生的运算求解能力、数据分析能力14.若，则_【答案】【解析】【分析】由，用诱导公式求解详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用求解的公式15.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】确定函数是奇函数，再确定函数的单调性，这样可由得到满足的等量关系由基本不等式求得最小值【详解】，是奇函数又，设，则，即，即，是上的增函数由得，即，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为8故答案为：8【点睛】本题考查函数的奇偶
13、性与单调性，考查基本不等式求最值奇偶性与单调性与解函数不等式常常会遇到的条件，由这两个条件可化去函数符号16.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】当 时， ，因为 ，所以 ，当 时，令时， ，和已知两式相减得 ，即 ，-得， ，所以数列 的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列， ， ，若对 ， 恒成立，即当 时， ， 时， ，当 时， ，即 ，解得： ，所以 的取值范围是 .【点睛】本题主要考察了递推公式，以及等差数列和与通项公式的关系，以及分类讨论数列的通项公式，本题有一个易错的地方是，忽略 的取值问题，当出现 时，认为奇数项和偶数项成等
14、差数列，其实，奇数项应从第三项起成等差数列，所以奇数项的通项公式为 ，而不是 ，注意这个问题，就不会出错.三、解答题（共70分）17.如图，在中，点在线段上() 若，求的长；（） 若，的面积为，求的值【答案】(1) ；(2) .【解析】【详解】（I）在三角形中，在中，由正弦定理得，又，（II），又，在中，由余弦定理得，18.随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程
