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1、1 2019 2020 年度高三第四次精英对抗赛 数 学 理科 试卷 考生注意 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间 120 分钟 2 请将各题答案填写在答题卡上 3 本试卷主要考试内容 高考全部内容 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知集合 A x x2 2x 15 0 B x x 2n 1 n N 则 A B A 1 1 3 B 1 1 C 5 3 1 1 3 D 3 1 1
2、2 若复数 z 满足 2 3i z 13i 则 z A 3 2iB 3 2iC 3 2iD 3 2i 3 双曲线 22 2 1 6 xy a 的一条渐近线方程是2yx 则该双曲线的离心率是 A 2B 3C 5D 6 4 若 a 1 b 2 则 a b 的取值范围是 A 1 9 B 1 9 C 1 3 D 1 3 5 在明代程大位所著的 算法统宗 中有这样一首歌谣 放牧人粗心大意 三畜偷偷吃苗 青 苗主扣住牛马羊 要求赔偿五斗粮 三畜户主愿赔偿 牛马羊吃得异样 马吃了牛 的一半 羊吃了马的一半 请问各畜赔多少 它的大意是放牧人放牧时粗心大意 牛 马 羊偷吃青苗 青苗主人扣住牛 马 羊向其主人要求
3、赔偿五斗粮食 1 斗 10 升 三畜的主人同意赔偿 但牛 马 羊吃的青苗量各不相同 马吃的青苗是牛的一半 羊 吃的青苗是马的一半 问羊 马 牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食 A 25 7 50 7 100 7 B 25 14 25 7 50 7 C 100 7 200 7 400 7 D 50 7 100 7 200 7 6 某学校为庆祝元旦 举办了 红歌 合唱比赛 台下 共 7 位评委 某班的 7 个得分的茎叶图如下 去掉 一个最高分 去掉一个最低分 5 个剩余分数的平均 值为 92 后来有 1 个数据模糊 无法辨认 在图中 以 x 表示 则这 5 个剩余分数的方差为 A 4B 5C
4、 6D 7 2 7 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 8 3 16 3 3 B 4 16 3 3 C 16 34 3 3 D 4 3 16 3 3 8 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 且在 0 上是增函数 设 a f log80 2 b f log0 34 c f 21 1 则 a b c 的大小关系是 A c b aB a b c C a c bD c a b 9 给出下列三个命题 2 000 21 0 xRxx 的否定 在 ABC 中 B 30 是 cosB 3 2 的充要条件 将函数 y 2cos2x 的图象向左平移 6 个单位长度 得到函数2cos 2 6 yx
5、 的图 象 其中假命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 10 已知函数 2cos 3 f xx 0 在 3 2 上单调递增 则 的取值范 围是 A 2 3 2 B 0 2 3 C 2 3 1 D 0 2 11 在平面五边形 ABCDE 中 A 60 AB AE 6 3 BC CD DE CD 且 BC DE 6 将五边形 ABCDE 沿对角线 BE 折起 使平面 ABE 与平面 BCDE 所成的二面 角为 120 则沿对角线 BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为 A 84 63 B 84 C 252 D 126 3 12 已知函数 f x memx lnx 当 x 0 时 f x 0 恒
6、成立 则 m 的取值范围为 A 1 e B 1 e e C 1 D e 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在答题卡中的横线上 分 把答案填在答题卡中的横线上 13 若 x y 满足约束条件 320 20 440 xy xy xy 则 z x 2y 的最大值为 14 若函数 2 2 21 x ax f xx 为奇函数 则 a 15 记等差数列 n a 和 n b 的前n项和分别为 n S和 n T 若 35 7 n n Sn Tn 则 5 7 a b 16 已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F 顶点为 O 准线 l 与 y
7、 轴相交于点 F1 过该抛物线上异 于顶点 O 的一点 A 作 AA1 l 交 l 于点 A1 以线段 AF AA1为邻边作平行四边形 A1AFC 直线 AC 交 l 于点 D 延长 AF 交 l 于点 B 则 BF1 DF1 三三 解答题解答题 共共 70 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 第第 17 21 题为必考题题为必考题 每道试题考生都必须作答 第每道试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 在 ABC 中 角 A B C
8、 的对边分别为 a b c 且 a b c sinA sinB sinC c sinC 2asinB 1 求 C 的取值范围 2 若 cosC 3 3 求 c a 的值 18 12 分 某市交通局为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的措施 将市区公交站点 的重新布局和建设作为重点项目 市交通局根据交通拥堵情况制订了 市区公交站点重 新布局方案 现准备对该方案进行调查 并根据调查结果决定是否启用该方案 调查 人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该方案进行评分 并将结果绘制成如 图所示的频率分布直方图 相关规则 调查对象为本市市民 被调查者各自独立评分 采用百分制评分 低于 60
9、分认为不满意 不低于 60 分认定为满意 其中 60 70 内 认定为基本满意 70 80 内认定为满意 不低于 80 分认定为非常满意 市民对公 交站点布局的满意率不低于 70 即可启用该方案 用样本的频率代替概率 1 从该市 100 万市民中随机抽取 4 人 求至少有 3 人满意该方案的概率 并根据所学 统计学知识判断该市是否可启用该方案 说明理由 2 现采用分层抽样从评分在 50 60 与 80 90 内的市民中共抽取 7 人 并从中抽 4 取 3 人担任群众督查员 记 X 为群众督查员中评定为满意的人数 求随机变量 X 的分布 列及其数学期望 EX 19 12 分 如图 底面 ABCD
10、 是等腰梯形 AD BC AD 2AB 2BC 4 点 E 为 AD 的中点 以 BE 为边作正方形 BEFG 且平面 BEFG 平面 ABCD 1 证明 平面 ACF 平面 BEFG 2 求二面角 A BF D 的正弦值 20 12 分 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 且椭圆 C 上的点到直线 y 2 的最长距离为22 1 求椭圆 C 的方程 2 过点 Q 2 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 试问在直线 y 2 上是否存在点 P 使直线 PA 与直线 PB 的斜率之和是直线 PQ 的斜率的 2 倍 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在
11、 请说明理由 5 21 12 分 已知函数 f x x2 5x 2lnx 1 求 f x 的极值 2 若 f x1 f x2 f x3 且 x1 x2 x3 证明 x3 x1 3 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 已知曲线 C 的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为参数 以原点 O 为极点 x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 4 R 直线 l 与曲线 C 相 交于 M N 两点 1 求曲线 C 的极坐标方程 2 记线段 MN 的中点为 P 求 OP 的值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 f x x 2 2x 4 1 求不等式 f x 7 的解集 2 若不等式 f x 2x a 在 0 3 上恒成立 求 a 的取值范围
