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1、等差数列的前n项和 第1课时 复习回顾 1 等差数列的定义 2 等差数列的通项公式 是等差数列 3 等差数列的重要性质 我国数列求和的概念起源很早 在南北朝时 张丘建始创等差数列求和解法 他在 张丘建算经 中给出等差数列求和问题 例如 今有女子不善织布 每天所织的布以同数递减 初日织五尺 等差数列求和的历史 末日织一尺 共织三十日 问共织几何 原书的解法是 并初 末日织布数 半之再乘以织日数 即得 4 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝
2、中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 这是求和的问题 你能不能快速的求出呢 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 高斯 1777年 1855年 德国著名数学家 高斯的算法 计算 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组 第一个数与最后一个数一组 第二个数与倒数第二个数一组 第三个数与倒数第三个数一组 每组数的和均相等 都等于101 50个101就等于5050了 高斯算法将加法问题转化为乘
3、法运算 迅速准确得到了结果 首尾配对相加法 中间的一组数是什么呢 所以S100 1 100 100 首项 尾项 总和 项数 这就是等差数列前n项和的公式 5050 合作探究 已知等差数列 an 的首项为a1 项数是n 第n项为an 求前n项和Sn 如何才能将等式的右边化简 倒序相加法 公式变形 思考 比较这两个公式 如何记忆 等差数列的前n项和的公式 含a1和d 求和公式 含a1和an 公式记忆 例1 根据下列条件 求相应的等差数列的 1 解 由已知得 整体思想认识公式 2 解 课堂小结 等差数列前n项和公式 在两个求和公式中 各有五个元素 只要知道其中三个元素 结合通项公式就可求出另两个元素
4、 公式的推证用的是倒序相加法 等差数列的前n项和 第2课时 前n和公式 共5个量 由三个公式联系 知三可求二 通项公式 等差数列 an 倒序相加法 例1 已知数列的前n项和为 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 解 根据 与 可知 当时 所以 数列的通项公式是 所以 是一个不含常数项的二次函数式 是一个常数列 反之 分析 思考 一般地 若数列 an 的前n和Sn An2 Bn 那么数列 an 是等差数列 若Sn An2 Bn C呢 1 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn 2 数列 an 的前n项和是Sn An2 Bn C 则 若C 0 则数列
5、an 是等差数列 若C 0 则数列 an 从第2项起是等差数列 结论 等差数列前n项和的性质一 思考 若 an 为等差数列 那么是什么数列 数列 an 是等差数列 为等差数列 即等差数列 an 的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列 等差数列 an 的判定方法 则Sn最大 则Sn最小 等差数列前n项和的性质二 思考 既然等差数列的前n项和是关于n的一元二次 那么它的最值怎么求呢 不等式法求的最值 你能理解么 也可以用二次函数的图像求的最值 但要注意 解 例2 由题意知 即 例2 解2 由题意知 两种求等差数列前n项和最值的方法 确定 确定 练习 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使
6、此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 例3 解法2 由已知得 例3 性质4 若数列 an 是等差数列 那么数列Sk S2k Sk S3k S2k 仍然成等差数列 例4 等差数列 an 的前m项的和为30 前2m项的和为100 则它的前3m项的和为 A 130B 170C 210D 260 C 例5 已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式 s 例5 已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式 变式探究 1 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an 0 n N 1 求数列 an 的通项 2 设Sn a1 a2 an 求Sn 1 由an 2 2an 1 an 0得 2an 1 an an 2 所以数列 an 是等差数列 d 2 an 2n 10 n N 解析 当n 6 n N 时 等差数列前n项和的性质 小结 则Sn最大 则Sn最小 不等式法求的最值 小结 若等差数列共有2n 1项 若等差数列共有2n项 小结 知识回顾KnowledgeReview
