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1、更多初中精品学习资料微信公众号【好老师联盟】资料分享交流社群请添加老师微信hlslm003二次函数的图象与性质易错清单1. 二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例1】(2014山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: 4a+b=0; 9a+c3b; 8a+7b+2c0; 当x-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c0,即9a+c3b;由于x
2、=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x2时,y随x的增大而减小.【答案】抛物线的对称轴为直线x=2,b=-4a,即4a+b=0,所以正确.当x=-3时,y0,9a-3b+c0,即9a+c3b.所以错误.抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),a-b+c=0.而b=-4a,a+4a+c=0,即c=-5a.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.抛物线开口向下,a0.所以正确.对称轴为直线x=2,当-1x2时,y随x的增大而减小.所以错误.故选B
3、.【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;=b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.2. 二次函数和最值问题【例2】(2014浙江舟山)当-2x1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,m-2时,x=-2时二次函
4、数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m-2矛盾,故m值不存在.当-2m1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨1. 掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2. 能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3. 会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4. 能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.提分策略1. 二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:配方法;顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx
5、+c的草图,要确定五个方面,即开口方向;对称轴;顶点;与y轴交点;与x轴交点.【例1】(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1 x2y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.2. 二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0
6、)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3. 二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所
7、在象限由的符号确定.【例3】(2014天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:b2-4ac0;abc2.其中,正确结论的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断;先根据抛物线的开口向下可知a0,故正确.抛物线的开口向下,a0.对称轴,ab0.a0.abc2,故正确.故选D.4. 二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为
8、顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例4】(2014甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后
9、,所得函数的表达式为().A. y=-2(x+1)2+2B. y=-2(x+1)2-2C. y=-2(x-1)2+2D. y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.” 【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.专项训练一、 选择题1. (2014江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为().A. 0B. 1C. 2D. 32. (2014辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是
10、常数,且m0)的图象可能是().3. (2014安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为().A. 3B. 9C. 15D. -154. (2013山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:abc0;a+b+c=2;b1.其中正确的结论是().A. B. C. D. (第4题)(第5题)5. (2013山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6. (2013浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二
11、、 填空题7. (2014安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.(第7题)8. (2014甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分 .其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abcy2.其中说法正确的是.(填序号)(第8题)9. (2014辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1y2的自变量x的取值范围是.(第9题)
12、10. (2014山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c0的解集是.(第10题)11. (2013江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是.12. (2013北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2x11,则y1与y2的大小关系是y1y2.(用“”“”或“=”填空)13. (2013河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bxkx的解集为.(第13题)
